Matematické Fórum

taranus · 21. 10. 2013 15:49

Ahoj. Mám problém s jednou rovnici. Zadání je $\text{Najděte všechna z} \in C_{\infty }, \text{pro která platí}$

$z^2 = 24i - 7$

Řešil jsem ji následovně

$z^2 - (24i - 7)= 0$
$D = -4 * a * c = -4 * (7 - 24i) = 96i - 28$

ted už si ovšem nevím rady. Ve výsledcích je $z = \frac{0 \pm (6+8i)}{2}$ nevím ale jak se z $96i - 28$ dopracovat k $6+8i$ .

Mohl byste mi někdo poradit? Děkuji za pomoc

Rumburak · 21. 10. 2013 16:20

Ahoj.

Šlo by třeba položit $z = x + y\,\mathrm{i}$ s reálnými $x, y$ , potom by bylo $z^2 = x^2 - y^2 + 2xy\,\mathrm{i}$ .
Dosazením do $z^2 = 24\,\mathrm{i} - 7$ tak dostaneme

$x^2 - y^2 + 2xy\,\mathrm{i} = 24\,\mathrm{i} - 7$ ,

věta o rovnosti dvou kompl. č. v algebraickém tvaru pak dává soustavu

$x^2 - y^2 = -7 , 2xy = 24$ .

Jinou možností by bylo použít teorii binomických rovnic.

taranus · 22. 10. 2013 19:08

tuhle cestu jsem také zkoušel ale bohužel jsem vždy dostal špatné výsledky. Mohl bys to prosím tě celé dopočítat?

jelena · 22. 10. 2013 19:48

↑ taranus:

Zdravím,

zkus sem napsat Tvůj postup řešení soustavy $x^2 - y^2 = -7 , 2xy = 24$ , předpokládám, že jsi dosazoval např. $y=\frac{12}{x}$ , snad jen nějaká nepozornost v postupu. Děkuji.

taranus · 22. 10. 2013 20:20

nakonec jsem se dopočítal ale vychází mi více výsledku než píše wolframalpha. Tady je můj postup

$x^2 - y^2 = -7 , 2xy = 24$
$y=\frac{12}{x}$

$\frac{144}{x^2} + x^2 = -7$
$-144 + x^4 = -7$
$x^4 + 7x^2 - 144 = 0$

$x^2 = t$

$t^2 = 7t - 144 = 0$
.
.
.
$t_{1} = 9 ; t_{2}=16$

$x_{1} = \pm 4 ; x_{2}=\pm 3$

když dosadím zpátky do y tak
$y_{1} = \pm 4 ; y_{2}=\pm 3$

Podle wolframu mají být výsledky pouze dva a mě vychází 4...