Matematické Fórum

StanciZV · 21. 10. 2013 18:45

Zdravím,

už som tu v minulosti jednu podobnú dif. rovnicu uvádzal, ale došlo na pár úprav, ktoré mi znemožnili rišiť ju. Ide o niečo takéto:

$\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x}+a\cdot (x-b)\cdot y(x)=a\cdot c\cdot (b-x)$

a, b, c = konštanty

myslím, že ide o dif. rovnicu druhého rádu s premenlivými koeficientami a s pravou stranou.
Neviem ako určiť funkciu y(x). Najprv som chcel vyriešiť všeobecné riešenie bez pravej strany. Funkciu y(x) som skúšal predpokladať v tvare

$\mathrm{e}^{f(x)}$

pretože by to mohlo dobre opísať prípad, pre ktorý som rovnicu zostavil

Funkciu f(x) som teda hľadal pomocou rovnice

$\frac{\mathrm{d} ^{2}f}{\mathrm{d}x }+(\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d}x })^{2}=a\cdot (b-x)$

cez substitúciu som potom hľadal rišenie rovnice

$\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d}x }+g^{2}(x)=a\cdot (b-x)$

a tu som zastal. Všeobecné riešenie viem, ale partikulárne neviem ako hľadať. Po vložení do Wolfrámu mi to vyhodí nejaké Besselove funkcie a Airyho funkcie. Nie som matematik, neviem, čo to znamená, či to tak má byť, alebo je to nejaké náhradné vyjadrenie.
Veľmi by mi pomohlo, keby sa dala tá prvá rovnica vyjadriť exaktne. Vedel by mi niekto pomôcť?

Ďakujem

Brano · 22. 10. 2013 11:09 — Editoval Brano (22. 10. 2013 11:11)

do takeho jednoduchsieho tvaru to mozes dostat substituciami $t=x-b$ a $z=y+c$ , kde dostanes
$\ddot{z}+atz=0$
a risenie tejto rovnice vyzera na moj vkus dost divoko
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%2Baxy%3D0
este napr. pre $a=1$ si mozes pozriet aj obrazok
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%2Bxy%3D0

Matematické Fórum

#1 21. 10. 2013 18:45

Diferenciálna rovnica

#2 22. 10. 2013 11:09 — Editoval Brano (22. 10. 2013 11:11)

Re: Diferenciálna rovnica

Zápatí