Matematické Fórum

Rohac · 19. 01. 2009 08:59 — Editoval Rohac (19. 01. 2009 09:03)

Nemuzu rozlousknout limitu:

${\lim}\limits_{a \to 0} \frac{2^x -1 }{x}$

muj odhad je, ze by mela jit upravit tak, aby misto 2^x bylo e^x, pak by sel pouzit vzorec, nicmene uprava se mi nedari :/ prosim o radu

EDIT: jeste jsem zapomnel dodat, ze bych rad videl reseni bez Hospitala. Melo by to jit bez nej, diky

O.o · 19. 01. 2009 09:03

↑ Rohac:

Nestačilo by použít l'Hostpitale?

Rohac · 19. 01. 2009 09:04

↑ O.o:

jo, zrovna jsem doeditoval, ze prosim o reseni bez nej :)

Pavel Brožek

Pokud smíš použít známou limitu

$\lim_{x\to0}\frac{\textrm{e}^x -1}{x}=1$ ,

tak už snadno použitím substituce spočítáš limitu $\lim_{x \to 0} \frac{2^x -1 }{x}$ . Pokud ale chceš počítat opravdu limitu co píšeš, tak to je jednoduše

$\lim_{a \to 0} \frac{2^x -1 }{x}=\frac{2^x -1 }{x}$

lukaszh · 19. 01. 2009 11:24

↑ Rohac:
Tak, po prvé, prečítaj si môj príspevok: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=5876#p36732
Predpokladám, že ide o editor SITMO, ktorý ťa naviedol, na tento zápis. Ako povedal ↑ BrozekP: poviem ti tú substitúciu a ušetríme 5 ďalších príspevkov typu, aká substitúcia, atď. Najlepšia bude asi:
$2^x=\text{e}^y$

Rohac · 19. 01. 2009 11:44

↑ lukaszh:↑ BrozekP:

Dekuji za pomoc, tato substituce uz me dovedla k vysledku, jinac se omlouvam za spatny zapis limity, spravne mela byt tedy ${\lim}\limits_{x \to 0} \frac{2^x -1 }{x}$ ... Slo o prvni uziti TeXu, tak se to snad da omluvit :)

Jeste mam ale jeden dotaz a to k substituci obecne... Pokud substituuji a chci zjistit k jakemu cislu se blizi nova promenna, udelam to tak, ze vyjadrim novou promenou pomoci stare (v tomto pripade $xln(2)=y$ ) a dosadim za $x$ cislo, ke kteremu se blizi, tedy $0$ a vyjde mi k cemu se blizi $y$ ?

lukaszh · 19. 01. 2009 12:22

↑ Rohac:
Áno, tak.

Pavel Brožek

Pokud používáme substituci u limit, jde vlastně o použití věty o limitě složené funkce. A aby se dala tato věta použít, je nutné splnit alespoň jeden z předpokladů.

Věta:

Jestliže $\lim_{x\to x_0}g(x)=A$ , $\lim_{x\to A}f(x)=B$ a je splněna alespoň jedna z podmínek

a) funkce f je v bodě A spojitá,
b) existuje redukované okolí bodu $x_0$ na němž $g(x)\neq A$ ,

pak $\lim_{x\to x_0}f(g(x))=B$ .

V našem případě je $f(x)=\frac{\textrm{e}^x-1}{x}$ , $g(x)=x\ln2$ , $x_0=0$ musíme tedy použít podmínku b). Z toho dostaneme

$\lim_{x\to0}\frac{\textrm{e}^{x\ln2}}{x\ln2}=1$ .

Příklad, kdy nemůžeme použít větu:

$\lim_{x\to0}|\textrm{sgn}(x\cdot\sin\frac1x)|$ neexistuje (na libovolném okolí nuly nabývá funkce nuly pro $x=\frac1{k\pi},\,k\in\mathbb{N}$ a jinde jedničky). Přesto

$\lim_{x\to0}x\cdot\sin\frac1x=0$ a
$\lim_{x\to0}|\textrm{sgn}(x)|=1$ ,

pokud bychom tedy bez promyšlení a ověření podmínek použili substituci $y=x\cdot\sin\frac1x$ , dostali bychom špatný výsledek 1.

lukaszh · 19. 01. 2009 13:52

↑ BrozekP:
Ešte by som k tej vete doplnil podmienku
$\text{c)}\;A\,\notin\,D(f)$
Ale to taká drobnosť.

Pavel Brožek · 19. 01. 2009 14:11

Tvoje podmínka je splněna pro $g(x)=0$ , $f(x)=\frac{x}{|x|}$ a $x_0=0$ :

$\lim_{x\to x_0}g(x)=0\nl \lim_{x\to0}f(x)=1$

tak by podle toho potom mělo platit

$\lim_{x\to0}\frac{0}{|0|}=1$ ?

lukaszh · 19. 01. 2009 14:19

↑ BrozekP:
My sme v skriptách mali tieto tri podmienky spolu.

Pavel Brožek

↑ lukaszh:

Ona ani ta moje věta není v pořádku. Pro

$g(x)=x,\qquad \textrm{pro }x=\frac1n,\,n\in\mathbb{N}\nl f(x)=x\sin(\frac{\pi}x)$

je splněn předpoklad b), ale složená funkce má prázdný definiční obor. Chtělo by tam přidat něco jako že musí existovat posloupnost $x_n$ taková, že $\lim_{n\to\infty}x_n=x_0$ a existuje její vybraná podposloupnost $\{x_{k_n}\}_{n=1}^{\infty},\, g(x_{k_n})\in D(f)$ , pak by snad platily všechny podmínky.

lukaszh

↑ BrozekP:
EDIT: To asi nebol dobrý nápad :-)

Matematické Fórum

#1 19. 01. 2009 08:59 — Editoval Rohac (19. 01. 2009 09:03)

Limita

#2 19. 01. 2009 09:03

Re: Limita

#3 19. 01. 2009 09:04

Re: Limita

#4 19. 01. 2009 11:10 — Editoval BrozekP (19. 01. 2009 11:11)

Re: Limita

#5 19. 01. 2009 11:24

Re: Limita

#6 19. 01. 2009 11:44

Re: Limita

#7 19. 01. 2009 12:22

Re: Limita

#8 19. 01. 2009 12:26 — Editoval BrozekP (19. 01. 2009 12:45)

Re: Limita

#9 19. 01. 2009 13:52

Re: Limita

#10 19. 01. 2009 14:11

Re: Limita

#11 19. 01. 2009 14:19

Re: Limita

#12 19. 01. 2009 14:33 — Editoval BrozekP (19. 01. 2009 14:41)

Re: Limita

#13 19. 01. 2009 14:47 — Editoval lukaszh (19. 01. 2009 14:58)

Re: Limita

Zápatí