#1 20. 10. 2013 14:30
Cauchy- ho lemma, komutativna grupa
Dalsie male cvicenie o grupach.
Nech G je komutativna konecna grupa radu delitelneho prvocislom p.
Dokazte, bez pouzitia Sylow-ovej teoremy, ze v G existuje prvok radu p.
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#2 20. 10. 2013 18:12 — Editoval Andrejka3 (20. 10. 2013 18:16)
Re: Cauchy- ho lemma, komutativna grupa
, kde 
a 
pro 
, pak
, kde 
. Pak ale volbou libovolného nejednotkového prvku (existuje) z 
je 
, tj.~
je řádu 
.Důkaz použité věty:
.
: 
, neboť je 
. Platí 
, protože 
. Mějme 
. Protože 
, musí být 
(jinak 
a taková mocnina dá 
). Odtud ihned máme 
, tedy 
.
navzájem komutují (
. Je podle Lagrange
. Položme
, tedy (Bezout) 
, pak
, neboť je 
. Též 
.
, pak 
. Stačí proto dokázat jednoznačnost rozkladu 
-- netriviálních členů. Je 
. BÚNO ať 
. Je 
, kde 
. Pak však
netriviálními členy, což je spor s minimalitou What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'
Offline
#3 20. 10. 2013 18:42
Re: Cauchy- ho lemma, komutativna grupa
Ahoj ↑ Andrejka3:,
Je mozna aj tato cesta.
Najprv, mame toto:
Ak grupa G je cyklicka, tak to je plati.
Skutocne:
si 
ma rad n, potom 
je radu p.
Vysledok sa da dokazat indukciou.
Chces to skusit?
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#5 20. 10. 2013 20:13
- OiBobik
- Moderátor
- Místo: Brno/Praha
- Příspěvky: 1013
- Škola: MFF UK Mat. struktury
- Pozice: student
- Reputace: 82
Re: Cauchy- ho lemma, komutativna grupa
↑ vanok:
Ahoj,
jde to třeba indukcí podle 
(cyklický případ tam až tak nepotřebuju).
... není co řešit.
(tj. 
, speciálně pak 
). Je-li 
, stačí použít IP na 
. Pak z Lag. věty je ![$|G|=[G:H]|H|$](/mathtex/8c/8c7a5f2aaa6a26936480c76660b52b19.gif "kopírovat do textarea")
, tedy nutně ![$p \mid [G:H]$](/mathtex/1c/1cdf5945a3ba9adc754572be0eddc29a.gif "kopírovat do textarea")
. Pak (jelikož ![$[G:H]<|G|$](/mathtex/59/59735dfbbf6066370ce887d0c82fbc5d.gif "kopírovat do textarea")
) z IP existuje 
prvek 
řádu 
. Nechť má 
řád 
. Pak se snadno nahlédne, že 
je řádu (Stále si ovšem myslím, že nejhezčí důkaz tohoto faktu je za pomoci akce grupy
na množině p-tic "neutralizujících se" prvků.) "The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]
Offline
#6 21. 10. 2013 00:22 — Editoval vanok (23. 10. 2013 10:01)
Re: Cauchy- ho lemma, komutativna grupa
Ahoj ↑ OiBobik:,
Dokaz co nasleduje pouziva viac krat cyklicke grupy.
, vysledok plati.
, 
ma rad nasobok 
ma prvok radu 
a 
je komutativna grupa radu ktory je nasobok 
taky, ze 
ma. rad 
ale 
(lebo 
),
striktna podgrupa grupy 
, lebo inac 
.
nie je generator cyklickej grupy 
nemozu byt nesudelitelne ( premiers entre eux)
( a aj Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#7 21. 10. 2013 20:17
- check_drummer
- Příspěvky: 5577
- Reputace: 106
Re: Cauchy- ho lemma, komutativna grupa
OiBobik napsal(a):
Nechť tedy
. Pak jistě
má nějakou vlastní podgrupu
Ahoj, z čeho to prosím plyne? Nemohlo by se stát, že všechny prvky budou generátory grupy G?
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#8 21. 10. 2013 23:16
- OiBobik
- Moderátor
- Místo: Brno/Praha
- Příspěvky: 1013
- Škola: MFF UK Mat. struktury
- Pozice: student
- Reputace: 82
Re: Cauchy- ho lemma, komutativna grupa
↑ check_drummer:
Ahoj, je pravda, ze tam je skryty ten cyklicky pripad: vezmu nejaky nejednotkovy prvek g. No a pokud je to nahodou generator, je jeho rad roven velikosti G, tj p*m pro nejake m>1. Pak je ovsem g^p prvek ostre mensiho radu m, stale ovsem ne iednotka.
"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]
Offline
#9 23. 10. 2013 09:59 — Editoval vanok (23. 10. 2013 10:03)
Re: Cauchy- ho lemma, komutativna grupa
Po prechadzkach na webe dalsie URL
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27s_theorem_(group_theory)
Jeden dokaz pre komutativnu grupu
A druhy od McKay (1959) pre kazdu konecnu grupu.
Tu zasa je jeden velmi pristupny dokaz v komutativnom pripade
http://fr.wikiversity.org/wiki/Groupe_(mathématiques)/Groupes_commutatifs_finis,_1
Ako vidite je to po fr, no ak treba napisem tu preklad po Sk, co sa tyka nasho cvicenia.
Male cvicenie a vela zaujimavych dokazov.
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline