Matematické Fórum

er61 · 22. 10. 2013 15:41

Prosím o kontrolu mého řešení. Předem děkuji za Váš čas!
Zadání příkladu je:

$4 | 9^{n} + 3$ dokázat matematickou indukcí.

Můj důkaz:
n = 1: $4|9^{1}+3 = 4|12$ Platí
n = k: $4|9^{k}+3$ Předpoklad
n = k + 1: $4|9^{k+1}+3$ Dokázat
$9^{k+1}+3=9*9^{k}+3$ Jelikož $4|9^{k}+3$ , pak i $4|9*9^{k}+3$

gadgetka · 22. 10. 2013 16:40

Já bych tam jen nedávala tu další neznámou "k", ale to záleží na tom, jak Vás to učí v matematice. Já bych dala ve druhém kroku rovnou předpoklad, že platí $4 | 9^{n} + 3$ a dokazovala bych, že platí i $4 | 9^{(n+1)} + 3$

$9^{n+1}+3=9\cdot 9^{n}+3$
Hodnota výrazu se nezmění, přičtu-li a zároveň odečtu nějakou konstantu:
$9\cdot 9^{n}+3+24-24=9\cdot 9^{n}+27-24=9(9^n+3)-24$

Podle předpokladu platí $4 | 9^{n} + 3$ , a proto platí i $4 | 9(9^n+3)$ .
Zároveň platí $4 | 24$ , a tedy výraz $4 | 9^{(n+1)} + 3$ je dělitelný čtyřmi.

er61 · 22. 10. 2013 22:55

Děkuji za správné řešení + za trik s konstantou.

Matematické Fórum

#1 22. 10. 2013 15:41

Je tento důkaz správně?

#2 22. 10. 2013 16:40

Re: Je tento důkaz správně?

#3 22. 10. 2013 22:55

Re: Je tento důkaz správně?

Zápatí