Matematické Fórum

Gábi7 · 22. 10. 2013 17:15

Dobrý den, chci se jen ujistit, zda následující příklad bude řešená podle kombinací..děkuji:) Pomocí centrální limitní věty určete pravděpodobnost, že z 330ti sáčků s bonbony bude nejvýše 8 špatně zatavených, a roztrhnou se. Z celkové výroby je 1% špatných sáčků.

LukasM · 22. 10. 2013 19:23

↑ Gábi7:
Nevím co znamená "podle kombinací". Počet vadných sáčků z 330ti má binomické rozdělení, které po tobě chtějí aproximovat podle CLV normálním rozdělením. Pak už hledanou pravděpodobnost vyčteš z tabulek hodnot distribuční funkce normálního rozdělení.

Gábi7 · 22. 10. 2013 20:41

↑ LukasM:
takže 1% špatných je 3,3 = 0,033 a dobrých je = 1-0,033 = 0,967
(330nad 8)*0,033 na osmou * 0,967 na nultou??? Děkuji

KennyMcCormick · 22. 10. 2013 22:48

3,3 = 0,033

Tohle jsem nepochopil.

Střední hodnota bude:
$EX=np=330\cdot0,01=3,3$

Rozptyl je:
$\text{var} X=np(1 - p)=330\cdot0,01(1-0,01)=3,267$

$P(X < 9) = \Phi\left(\frac{9-EX}{\sqrt{\text{var}X}}\right)=\Phi\left(\frac{9-3,3}{\sqrt{3,267}}\right)\doteq\Phi(3,15)$

V tabulkách si najdeš, že to odpovídá pravděpodobnosti:
$P(X < 9)=0,999\:2=99,92\%$

OK?

LukasM · 22. 10. 2013 23:01 — Editoval LukasM (22. 10. 2013 23:02)

↑ Gábi7:
No, to ne. Nemůžeš říct, že jich bude 3,3 špatných. Může jich být špatných 10, nebo taky žádný. To 1 % ber jako nějakou celkovou charakteristiku té výroby. Pak se to dá interpretovat jako pravděpodobnost, že daný sáček bude špatný. Pravděpodobnost že budou špatné dva ze

dvou: 0,01*0,01 = 0,0001
tří: 0,01*0,01*0,99 + 0,01*0,99+0,01 + 0,99*0,01*0,01
čtyř: 0,01*0,01*0,99*0,99 + 0,01*0,99*0,01*0,99 + 0,01*0,99*0,99*0,01 + 0,99*0,01*0,01*0,99 + 0,99*0,01*0,99*0,01 + 0,99*0,99*0,01*0,01.
atd.

Počet sčítanců roste (a všechny jsou stejné), protože je stále větší počet možností jak je mezi sebou proházet. Konkrétně je ten počet sčítanců daný právě tím kombinačním číslem. Takže pravděpodobnost že ze 330 sáčků bude právě 8 špatných je ${330\choose 8} (0,01)^8 (0,99)^{322}$ . Oni se tě ale ptají jaká je prst že bude špatných nejvíce 8, takže bys musela počítat součet $\sum_{k=0}^8 {330\choose k} (0,01)^k (0,99)^{330-k}$ A protože to je práce, a té se všichni chceme pokud to jde vyhnout, aproximuješ to podle CLV normálním rozdělením s nějakými parametry, což ti umožní místo sčítání sumy vykoukat tu pravděpodobnost z tabulek.

Ten přechod z binomického rozdělení na normální už sem napsal KennyMcCormick, já tu tenhle příspěvek už nechám, třeba někomu pomůže.

Gábi7 · 23. 10. 2013 20:32

↑ KennyMcCormick:
nemá tam být P(x<=8) a konečný výsledek je 99,5% ?

KennyMcCormick

To je jedno, protože je to stejně jenom velmi hrubá aproximace.

Přesněji bychom to mohli aproximovat normální veličinou, která je menší nebo rovna 8,5, kvůli opravě na spojitost. Potom by to bylo:
$P(Y\leq8,5)=\Phi\left(\frac{8,5-EX}{\sqrt{\text{var}X}}\right)=\Phi\left(\frac{8,5-3,3}{\sqrt{3,267}}\right)\doteq\Phi(2,88)$
$P(Y\leq8,5)=0,998\:0=99,80\%$

OK?

Matematické Fórum

#1 22. 10. 2013 17:15

Kombinace?

#2 22. 10. 2013 19:23

Re: Kombinace?

#3 22. 10. 2013 20:41

Re: Kombinace?

#4 22. 10. 2013 22:48

Re: Kombinace?

#5 22. 10. 2013 23:01 — Editoval LukasM (22. 10. 2013 23:02)

Re: Kombinace?

#6 23. 10. 2013 20:32

Re: Kombinace?

#7 24. 10. 2013 05:40 — Editoval KennyMcCormick (24. 10. 2013 05:41)

Re: Kombinace?

Zápatí