Matematické Fórum

rama27 · 22. 10. 2013 19:53

Ahoj,
prosím o pomoc s následujícím příkladem, absolutně si nevím rady:
Nechť posloupnosti $(a_{n}^{k})_{n=1}^{\infty }$ kde $k\in \mathbb{N}$ jsou neomezené. Musí existovat posloupnost $(x_{n})_{1}^{\infty }$ taková, že $x_{n}>0$ ; $x_{n}\Rightarrow 0$ a všechny:

a) $(x_{n}\cdot a_{n}^{k})_{n=1}^{\infty }$ konvergují?

b) $(x_{n}\cdot a_{n}^{k})_{n=1}^{\infty }$ divergují?

Prosím o podrobnější návod, bojím se, že lehké "pošťouchnutí" mi nepomůže :)
Díky

Bati · 22. 10. 2013 20:18 — Editoval Bati (23. 10. 2013 00:35)

Ahoj,
a) Je třeba vzít tak konvergentní posloupnost $x_n$ , aby "přebila" všechny neomezené posloupnosti $a_n$ . Zkusil bych vzít něco jako $x_n=\min$\frac1{\sup_{k\in\mathbb{N}}|a_n^k|},\frac{x_{n-1}}2$$ .

b) podíval bych se třeba na posloupnost $x_n=\frac1{\sqrt{\inf_{k\in\mathbb{N}}|a_n^k|}}$ .

rama27 · 22. 10. 2013 20:47

Díky, možná se ještě ozvu :)

rama27 · 23. 10. 2013 11:26

Nechápu tohle: $x_n=min(\frac1{\sup_{k\in\mathbb{N}}|a_n^k|},\frac{x_{n-1}}2)$
Respektive, jak si přišel na $\frac{x_{n-1}}{2}$
A chápu správně, že $|a^{k}_{n}|$ si dal do absolutní hodnoty proto, že chceš, aby všechny členy posloupnosti byly kladné?
Díky

Bati · 23. 10. 2013 11:37

↑ rama27:
$\frac{x_{n-1}}2$ je tam proto, abych tu posloupnost pak mohl odhadnout shora konvergentní posloupností $2^{-n}$ . Ale teď si uvědomuju, že to tam je asi zbytečné - divergence všech posloupností $a_k$ zaručuje konvergenci $x_n=\frac1{\sup_{k\in\mathbb{N}}|a_n^k|}$ k nule.
Absolutní hodnota je tam proto, že dělám supremum - to by pak nemělo moc smysl, kdyby tam byl nějaký obrovský záporný člen.

rama27 · 23. 10. 2013 16:42

Chápu, v tom případě je řešením pro konvergenci toto: $x_n=\frac1{\sup_{k\in\mathbb{N}}|a_n^k|}$ ani minimum před zlomek dávat nemusím, ne?

Bati · 23. 10. 2013 17:35

No minimum z jednoprvkové množiny je celkem triviální.

rama27 · 23. 10. 2013 20:10

Dobrý, na to jsem se ptal :)
Poslední dotaz (slibuju :D) proč je v $x_n=\frac1{\sqrt{\inf_{k\in\mathbb{N}}|a_n^k|}}$ ta odmocnina?
Není to jen obrácený případ k áčku? Tj. vyměním jen sup za inf
Díky moc

Bati · 23. 10. 2013 23:13

↑ rama27:
Ta je tam, abych zaručil divergenci té součinové posloupnosti. Kdyby tam nebyla, mohl bych teoreticky dostat konstantní posloupnost, která nediverguje. Přesněji:
$|x_na_n^k|=\frac{|a_n^k|}{\sqrt{\inf_{k\in\mathbb{N}}|a_n^k|}}\geq\frac{\inf_{k\in\mathbb{N}}|a_k^n|}{\sqrt{\inf_{k\in\mathbb{N}}|a_k^n|}}=\sqrt{\inf_{k\in\mathbb{N}}|a_n^k|}\to\infty$ .
Klidně se ptej, tenhle příklad vidím poprvé a přijde mi docela zajímavý.

user · 23. 10. 2013 23:51 — Editoval user (24. 10. 2013 00:05)

Ahoj,

omlouvám se, že vstupuji do rozpracovaného tématu. Ale ze zadání mi není zcela jasné, jestli je $k$ přirozené, ale pevně zvolené.
Nejsem si jistý, jak je potom zajištěno, že $\sup_{k \in \mathbb{N}}\{|a_n^k|\}$ je konečné číslo.

U druhého příkladu by podle mne mělo být určitě vybíráno minimálně $x_n=\min\{\frac{1}{\sqrt{\inf_{k \in \mathbb{N}}|a_n|}},\frac1n\}$ , protože ze zadání neomezenosti posloupností neplyne, že by nemohlo být nekonečně mnoho členů omezených (rovných 1, aby to v našem případě mocnění nezměnilo), čímž bychom neměli zajištěnou konvergenci $x_n$ .

user · 24. 10. 2013 00:18 — Editoval user (24. 10. 2013 00:20)

Myslím si, že první případ by šel vyřešit nakonec snad jinak protože členy původní $a_n$ , rostou v $k$ polynomiálně, tudíž by je možná bylo možné přebít posloupností, která by rostla exponenciálně, něco jako $x_n=\frac{1}{e^{|a_n|}}$ , ale nejsem si tím moc jistý a nemám to úplně promyšlené, takže je možné, že to je blbost. Protože by se v důkaze muselo operovat i s $k$ , ale možná by šlo ukázat, že pro každé $k$ od jistého $n_0$ $x_n$ převáží.

Bati · 24. 10. 2013 09:36

↑ user:
Ahoj,
jsem rád, že někdo vstoupil. Sám jsem si nebyl moc jistý. S tím supremem i minimem máš pravdu, na to jsem zapomněl, díky. Tím pádem asi a) neplatí, jak jsem si původně myslel.

↑ user:

protože členy původní $a_n$ , rostou v $k$ polynomiálně

Proč?

user · 24. 10. 2013 20:59 — Editoval user (24. 10. 2013 21:04)

Prozatím budu uvažovat jen o posloupnostech ze zadání s touto vlastností $\lim_{n\to+\infty} a_n=+\infty$ .

Využívám toho, že platí
Označím $d_n:= \frac{n^k}{e^n}$ . Dále používám limitu
$\forall k \in \mathbb{N}:\; \lim_{n\to +\infty} \frac{n^k}{e^n}=0$ .
Pak není těžké ukázat pro posloupnost
$c_n:=\frac{\lfloor a_n\rfloor^k\left(1+\frac{1}{\lfloor a_n\rfloor}\right)^k}{e^{\lfloor a_n\rfloor}}=\frac{(\lfloor a_n\rfloor+1)^k}{e^{\lfloor a_n\rfloor}}\ge\frac{a_n^k}{e^{a_n}}=:b_n$ ,
že je má stejnou limitu jako $d_n$ (je to součin skorovybrané posloupnosti z $d_n$ a posloupnosti s limitou 1) , takže má stejnou limitu a zároveň mi poskytuje horní odhad pro $b_n$ .
To by podle mě mohlo stačit.
V úvahách jsem použil faktů, že $x^k, e^x$ jsou monotonní funkce a že $\forall x,k >1:\;x\le x^k$ .

Snad jsem se nikde neseknul.

Bati · 25. 10. 2013 00:01

↑ user:
Aha, já jsem totiž zadání pochopil úplně jinak než ty. $k$ jsem považoval za index psaný nahoře, nikoliv mocninu, proto jsem vůbec nechápal, kde jsi vzal ten polynomiální růst. Tudíž jsem uvažoval úplně libovolné neomezené posloupnosti.

user · 25. 10. 2013 00:29

To zase nenapadlo mě. Podle té věty, že jsou ty posloupnosti neomezené by to tak mohlo být, protože jinak by stačilo zadat neomezenost $a_n$ ...

Každopádně bych počkal na vyjádření autora. Ale doufám, že ať to je jakkoliv, tak příspěvky budou alespoň trošku přínosné.

rama27 · 25. 10. 2013 13:44 — Editoval rama27 (25. 10. 2013 13:45)

k neni mocnina, ale horní index. A komentáře určitě přínosné jsou :)

Matematické Fórum

#1 22. 10. 2013 19:53

posloupnosti

#2 22. 10. 2013 20:18 — Editoval Bati (23. 10. 2013 00:35)

Re: posloupnosti

#3 22. 10. 2013 20:47

Re: posloupnosti

#4 23. 10. 2013 11:26

Re: posloupnosti

#5 23. 10. 2013 11:37

Re: posloupnosti

#6 23. 10. 2013 16:42

Re: posloupnosti

#7 23. 10. 2013 17:35

Re: posloupnosti

#8 23. 10. 2013 20:10

Re: posloupnosti

#9 23. 10. 2013 23:13

Re: posloupnosti

#10 23. 10. 2013 23:51 — Editoval user (24. 10. 2013 00:05)

Re: posloupnosti

#11 24. 10. 2013 00:18 — Editoval user (24. 10. 2013 00:20)

Re: posloupnosti

#12 24. 10. 2013 09:36

Re: posloupnosti

#13 24. 10. 2013 20:59 — Editoval user (24. 10. 2013 21:04)

Re: posloupnosti

#14 25. 10. 2013 00:01

Re: posloupnosti

#15 25. 10. 2013 00:29

Re: posloupnosti

#16 25. 10. 2013 13:44 — Editoval rama27 (25. 10. 2013 13:45)

Re: posloupnosti

Zápatí