Matematické Fórum

Zdravím také.

ad 1) Je potřeba uvědomit si, jak je to s konvergencí resp. divergencí harmonické řady a řady složené ze samých nul.

ad 2) Je potřeba uvedomit si, jak je to s konvergencí resp. divergencí řady .

V obou případech může k vyšetření konvergence pomoci integrální kriterium.  K určení součtu v úloze 2 :

Skrytý text:


,
.

Odkaz na vlákno s důkazem posledního vzorce doplním za moment. slíbený odkaz

↑ Ibanus:
Ahoj.
Je vidět, že máš asi problém s tou stejnoměrnou konvergencí. Protože jsi psal, žes něco hledal, předpokládám, že definice znáš. A protože jsi psal, že to nestačilo, pokusím se to vysvětlit co nejlépe.
Je to vlastně taková limita s parametrem. Vtip je v tom, že aby to byla stejnoměrná konvergence, musí být existence toho indexu [mathjax]n_0[/mathjax] z definice obyčejné limity nezávislá na tom parametru. Tj. pro ten index [mathjax]n_0[/mathjax] ty členy musí být dostatečně malé pro všechny možné parametry. Nejmenší příklad, který mě napadá, kde je zásadní rozdíl mezi bodovou a stejnoměrnou konvergencí je posloupnost funkcí [mathjax]\frac{x}n[/mathjax] pro [mathjax]x\in[0,\infty)[/mathjax]. Platí sice výrok [mathjax]\forall x\in[0,\infty):f_n(x)\to0,\;n\to\infty[/mathjax], ale výrok [mathjax]f_n\rightrightarrows0[/mathjax] na [mathjax][0,\infty)[/mathjax] už neplatí - např. pro číslo [mathjax]\frac12[/mathjax] by měl existovat index [mathjax]n_0[/mathjax], od kterého dál je to už menší než [mathjax]\frac12[/mathjax] nezávisle na hodnotě [mathjax]x[/mathjax]. Ale protože [mathjax]x[/mathjax] je z intervalu [mathjax][0,\infty)[/mathjax], můžu ho zvolit libovolně velké - třeba zrovna [mathjax]x=n_0[/mathjax], čímž přelezu tu polovinu. Je z toho vidět, že hodně závisí na intervalu, ze kterého je parametr vybírán. Pokud bychom se v tom příkladu omezili na konečný interval, konvergovalo by to už stejnoměrně. Proto se taky zavádí pojem lokální stejnoměrné konvergence. Je dobré si taky uvědomit, že stejnoměrná konvergence implikuje spojitost limitní funkce.
Ve složitějších případech se nejprve pro pevné [mathjax]n[/mathjax] najde supremum funkce [mathjax]f_n(x)[/mathjax] v zadaném intervalu, čímž odpadne závislost na [mathjax]x[/mathjax] a zkoumá se pak jen obyčejná posloupnost těch suprem.

Na řady funkcí se to pak jen všechno přenese pomocí posloupnosti částečných součtů [mathjax]s_n(x)=\sum\limits_{i=1}^nf_n(x)[/mathjax].

K jednotlivým příkladům:
1) Neuvážil jsi všechny možné hodnoty parametru.
2) Ok (pokud jsi to udělal tak jak myslím) - vidíš, že srovnávací kritérium může být dobré pro odstraňování závislosti na parametru.
3) Uvědom si, co přesně říká odmocninové kritérium a uvažuj různé hodnoty parametru.