Matematické Fórum

k3nn1 · 22. 10. 2013 21:37

Zdravím, chtěl bych poprosit o řešení příkladu
$\frac{(2x-1)(3x+1)}{x-5}\ge 2( 3-x)$

pořád mi to vychazi jako kvadraticka rovnice s D<0
díky

Freedy · 22. 10. 2013 21:57

$\frac{(2x-1)(3x+1)}{x-5}\ge 2(3-x)$
vše na jednu stranu:
$\frac{(2x-1)(3x+1)}{x-5}-\frac{(6-2x)(x-5)}{x-5}\ge 0$
$\frac{6x^2-x-1}{x-5}-\frac{-4x-30-2x^2}{x-5}\ge 0$
$\frac{8x^2+3x+29}{x-5}\ge 0$
Zlomek je větší než nula, když je čitatel s jmenovatelem větší než nula nebo oba menší než nula. Čitatel je nerozložitelný v R s kladnym koeficientem u x^2 tudíž bude vždy kladny. Aby byl i jmenovatel kladný, musí platit
$x-5>0$
Řešení: $x>5$

k3nn1 · 22. 10. 2013 22:03

Super díky takhne mě to nenapadlo :)
a tohle bys nevědel ?
$\log_{1/\pi}(\frac{x-3}{6-6x})\ge 0$

zdenek1 · 22. 10. 2013 23:04

↑ k3nn1:
Za prvé podmínky:
$\frac{x-3}{6-6x}>0$
z čehož je
$x\in(1;3)$

Dále, protože $\frac1\pi<1$ , při "odlogaritmování" musíme změnit znaménko nerovnosti.
$\frac{x-3}{6-6x}\le1$
$\frac{x-3}{6-6x}-1\le0$
$\frac{x-3-6+6x}{6-6x}\le0$
$\frac{7x-9}{6-6x}\le0$
$x\in(-\infty;1)\cup\langle\frac79;\infty)$
Průnik s podmínkou
$x\in\langle\frac79;3)$

Rajec · 24. 10. 2013 17:18

Ahoj mam obdobný přiklad a nevím si s ním rady, kdyby se nekdo slitoval a vysvetlil mi jak na to budu rada. diky
$\frac{2x-1}{x+5}<\frac{x+1}{x-3}$

zdenek1 · 24. 10. 2013 23:28

↑ Rajec:
$\frac{2x-1}{x+5}<\frac{x+1}{x-3}$
$\frac{2x-1}{x+5}-\frac{x+1}{x-3}<0$
$\frac{(2x-1)(x-3)-(x+1)(x+5)}{(x+5)(x-3)}<0$
$\frac{x^2-13x-2}{(x+5)(x-3)}<0$
$\frac{(x-\frac{13-\sqrt{177}}{2})(x-\frac{13+\sqrt{177}}{2})}{(x+5)(x-3)}<0$
$x\in (-5;\frac{13-\sqrt{177}}{2})\cup(3;\frac{13+\sqrt{177}}{2})$