Matematické Fórum

milwoukee

Cau,
vypocital som limitu pomocou polarnych suradnic. Vysla mi celkom pekne, a to 0. Problem je ale v tom ze spravna odpoved je, ze limita neexistuje.

Tu je priklad: $lim(x,y)->(0,0){\frac{x^2+y^2}{x+y}}$

Ja som na to isiel polarnymi suradnicami. Cize $x= rcos\sigma$ $y= rsin\sigma$

$lim(x,y)->(0,0){\frac{r^2(cos^2\sigma + sin^2\sigma)}{r(cos\sigma + sin\sigma)}}$

po vykrateni r a zameneni citatela bez r za 1 vychadza toto:
$lim(x,y)->(0,0){\frac{r(1)}{(cos\sigma + sin\sigma)}}$

co ked dosadim r=0 tak mi vyjde:
$\frac{0}{\text{nieco ohranicene}} = 0$

Kde robim chybu? Alebo je mozne aby mi spravnym postupom vysla nejaka limita aj ked v skutocnosti neexistuje?
Da sa nejako na prvy pohlad zistit ci neexistuje? Prave tato mi pride logicky neexistujuca, lebo stale sa to cislo bude zvysovat, no niekedy to nieje tak dobre vidno. Vdaka za rady

EDIT: "Prave tato mi pride logicky neexistujuca, lebo stale sa to cislo bude zvysovat" To som napisal zle, pretoze ked sa stale zvysuje, moze byt limita v nekonecne.

EDIT2: Narazil som na dalsi taky priklad: $\lim_{x,y\to1,1}{\frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}}$

Taktiež by som skusil polarne suradnice: $\lim_{x,y\to1,1}{\frac{r(cos\sigma+sin\sigma)}{\sqrt{r^2(cos^2\sigma+sin^2\sigma)}}}$
co po uprave vyjde: $\lim_{x,y\to1,1}{\frac{r(cos\sigma+sin\sigma)}{\sqrt{r^2(1)}}}$
dalej: $\lim_{x,y\to1,1}{\frac{r(cos\sigma+sin\sigma)}{r}}$ = $\lim_{x,y\to1,1}{(cos\sigma+sin\sigma)}$ a z toho by malo vyplivat ze limita neexistuje, pretoze zalezi na hodnote $\sigma$
Avsak vysledok je $\sqrt{2}$

Naozaj neviem kde robim chybu ale zjavne niekde ano :)

Stýv · 24. 10. 2013 15:24

1) jaký je definiční obor té fce?

2) $\frac{0}{\text{nieco ohranicene}} = 0$ to si pleteš dělení s násobením

3) když děláš substituci, musíš substituovat všude, tj. nemělo by ti tam zůstávat $\lim_{x,y\to1,1}$ apod.

milwoukee

↑ Stýv:

1. cela R okrem x=-y , meni to nieco na vysledku?

2. Nerozumiem... $\frac{0}{5} = 0$ alebo pri limitach to neplati?

3.Ano, tu substituciu som mal napisat r->1 ale nic to nemeni na vysledku.

Stale som asi nepochopil kde je ta chyba :) Troska mi to trva... Vsimol som si ze s tym 0/ohranicena to nemusi platit ak by sinOMEGA = -cosOMEGA

K tomu druhemu prikladu, je mi jasne ze staci dosadit. Ale malo by to fungovat akokolvek, ked pouzijem korektne upravy nie?

jarrro · 24. 10. 2013 15:40 — Editoval jarrro (24. 10. 2013 15:46)

1. limita závisí na ceste teda neexistuje skús $y =x$ a $y=x^2$
a do druhej stačí dosadiť
edit: neviem ako definujete limitu dvoch premenných či relatívne k oboru alebo len vtedy keď je na malých okoliach definovaná.
ak druhá možnosť tak tá prvá limita potom dokonca nemá zmysel

milwoukee · 24. 10. 2013 15:44

↑ jarrro:
Ja viem ze sa to da tak, mne ide o to preco to ja mam zle. Podla mna som pouzil korektne upravy a aj tak mi vychadzaju zle vysledky. Na pisomke ked dostanem ten priklad tak sa ju najprv pokusim vypocitat. Cize skusim napr. polarne suradnice. A ked mi nieco vyjde myslim si ze to je dobre.

Stýv · 24. 10. 2013 15:48 — Editoval Stýv (24. 10. 2013 15:51)

↑ milwoukee:
1) mění; funkce není definovaná na žádném okolí (0,0), tedy tam nemůže mít limitu

2) a 0/0?

3) kdyby sis tam napsal $r\to\sqrt2,\sigma\to\frac\pi4$ , viděl bys, že ta limita existuje. to, že výraz napravo závisí na $\sigma$ , vůbec nevadí

Edit: a jarro má pravdu, že ve druhý stačí dosadit, ty polární souřadnice jsou tam k ničemu

jarrro · 24. 10. 2013 15:51

ako povedal stýv tak pri substitúciách treba zmeniť aj bod v ktorom sa počíta limita

milwoukee

↑ jarrro:↑ jarrro:
Ok, to bola chyba, ale to bol len zly zapis. Pocital som s tym.

$\lim_{r\to1}{\frac{r(cos\sigma+sin\sigma)}{\sqrt{r^2(cos^2\sigma+sin^2\sigma)}}}$
$\lim_{r\to1}{\frac{r(cos\sigma+sin\sigma)}{\sqrt{r^2(1)}}}$
$\lim_{r\to1}{\frac{r(cos\sigma+sin\sigma)}{r}}$ = $\lim_{r\to1}{(cos\sigma+sin\sigma)}$

Takze to aj tak znamena ze zalezi na sigme.
Ako to?

Jedine vysvetlenie co ma napada je, ze ak ide dosadit a vyjde cislo, musime dosadit a nemozme pouzivat upravy typu prevod do polarnych suradnic. Je to tak?

jarrro · 24. 10. 2013 21:59 — Editoval jarrro (24. 10. 2013 22:04)

↑ milwoukee:ako už písal stýv pri polárnej substitúcii je
$$x,y$\to$1,1$\Leftrightarrow $r,\sigma$\to $\sqrt{2},\frac{\pi }{4}$$
nemôžeš len tak odignorovať jednu súradnicu
po správnej transformácii zase stačí dosadiť a vyjde želaná odmocnina z dvoch čiže zbytočná robota navyše

Matematické Fórum

#1 24. 10. 2013 14:32 — Editoval milwoukee (24. 10. 2013 15:02)

limita dvou promennych - ruzne vysledky

#2 24. 10. 2013 15:24

Re: limita dvou promennych - ruzne vysledky

#3 24. 10. 2013 15:32 — Editoval milwoukee (24. 10. 2013 15:34)

Re: limita dvou promennych - ruzne vysledky

#4 24. 10. 2013 15:40 — Editoval jarrro (24. 10. 2013 15:46)

Re: limita dvou promennych - ruzne vysledky

#5 24. 10. 2013 15:44

Re: limita dvou promennych - ruzne vysledky

#6 24. 10. 2013 15:48 — Editoval Stýv (24. 10. 2013 15:51)

Re: limita dvou promennych - ruzne vysledky

#7 24. 10. 2013 15:51

Re: limita dvou promennych - ruzne vysledky

#8 24. 10. 2013 17:32 — Editoval milwoukee (24. 10. 2013 18:00)

Re: limita dvou promennych - ruzne vysledky

#9 24. 10. 2013 21:59 — Editoval jarrro (24. 10. 2013 22:04)

Re: limita dvou promennych - ruzne vysledky

Zápatí