Matematické Fórum

suroviak3

Na úlohu som dostal vypočítať konvergenciu radu $\sum_{n=2}^{\infty }\frac{\sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n+2}}{n}$
Pri Raabeho kritériu určujeme konvergenciu/divergenciu pomocou $\lim_{0\to\infty }n*(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1)$
Pri riešení tejto limity dostanem zakaždým neurčitý výraz 0/0.
Vychádza mi to: $\infty *\frac{\sqrt[4]{1}-\sqrt[4]{1}-\sqrt[4]{1}+\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{1}-\sqrt[4]{1}}$

vanok · 25. 10. 2013 02:21 — Editoval vanok (25. 10. 2013 02:23)

↑ suroviak3:
Pouzi règle Raabe-Duhamel ako tu
http://fr.wikipedia.org/wiki/Règle … be-Duhamel
( mas tam aj dokaz )
Poznamka:
Konergencia sa nepocita, ale skor vysetruje.

suroviak3

↑ vanok:
Viem ako sa to pomocou Raabeho vety robí. Problém je v tom, že nemôžem určiť limitu z:
$(\frac{(\sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n-2})*(n+1)}{(\sqrt[4]{n+2}-\sqrt[4]{n-1})*n}-1)*n$
Limita by mi mala podľa wolframu byť $\frac{7}{4}$ , čiže rad konverguje.
Mne však táto limita ako som už napísal po úpravách vyjde zakaždým $\frac{0}{0}$

Brano · 25. 10. 2013 10:53 — Editoval Brano (25. 10. 2013 11:51)

↑ vanok:
(len zo zaujimavosti) to je to iste ako Raabeho kriterium, len inak zapisane nie?
↑ suroviak3:
ak to spravne chapem tak proste nevies vyratat tu limitu
(edit: prerobene podla druheho zadania)
$a_n=\frac{\sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n-2}}{n}$
$a_{n+1}=\frac{\sqrt[4]{n+2}-\sqrt[4]{n-1}}{n+1}$
a v tych odmocninovych clenoch pouzijeme rozvoj do Taylorovho radu do 2. stupna
$\sqrt[4]{n+k}=\sqrt[4]{n}\sqrt[4]{1+\frac{k}{n}}=\sqrt[4]{n}\left(1+\frac{1}{4}\frac{k}{n}-\frac{3}{32}\frac{k^2}{n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)$
$a_n=\frac{\sqrt[4]{n}\left(\frac{3}{4n}+\frac{9}{32n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)}{n}=\sqrt[4]{n}\left(\frac{3}{4n^2}+\frac{9}{32n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)\right)$
$a_{n+1}=\frac{\sqrt[4]{n}\left(\frac{3}{4n}-\frac{9}{32n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)}{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}=\sqrt[4]{n}\left(\frac{3}{4n^2}-\frac{33}{32n^2}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)\right)$
$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{1+\frac{3}{8n}+o\left(\frac{1}{n}\right)}{1-\frac{11}{8n}+o\left(\frac{1}{n}\right)}=1+\frac{14}{8n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$
teda
$n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=\frac{7}{4}+o(1)\to\frac{7}{4}\text{ (pre }n\to\infty)$ .

vanok · 25. 10. 2013 11:01

↑ Brano:?
Ano je to len trochu inac napisane, a ukazuje ako treba upravit studovane vyrazy.

suroviak3

↑ Brano:
Ma to byt. $a_{n}=\frac{\sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n-2}}{n}$
a potom $a_{n+1}=\frac{\sqrt[4]{n+2}-\sqrt[4]{n-1}}{n+1}$
Taylorov rozvoj sme ešte nemali.

vanok · 25. 10. 2013 11:35

Poznamka
V texte mas dve rozne varianty postupnosti
$\sum_{n=2}^{\infty }\frac{\sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n+2}}{n}$ a to tu ↑ suroviak3:.
Potom $(\frac{(\sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n-2})*(n+1)}{(\sqrt[4]{n+2}-\sqrt[4]{n-1})*n}-1)*n$ tu sa zda ze je to trochu ine ↑ suroviak3:.

suroviak3 · 25. 10. 2013 11:39

↑ vanok:Ospravedlňujem sa.
Je to: $\sum_{n=2}^{\infty }\frac{\sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n-2}}{n}$

Brano · 25. 10. 2013 11:39 — Editoval Brano (25. 10. 2013 12:13)

↑ suroviak3:
mam odpisane to co mas v zadani - tam mas $\sqrt[4]{n+2}$ ale upravim to podla tohoto (edit: uz to tam je)
bez taylora treba pouzivat vzorce typu $a^4-b^4=(a-b)(...)$ a to je dost otrava, ale mozes si to skusit mne sa do toho nejak nechce, pripadne mozes pouzit L'Hopitalovo pravidlo (asi dva krat), ale aj to bude dost nechutne, pripadne si mozes pozriet este step-by-step riesenie z wolframu, ak sa ti tam chce registrovat.

suroviak3 · 25. 10. 2013 12:30

↑ Brano:
↑ vanok:
Ďakujem.

Matematické Fórum

#1 24. 10. 2013 20:44 — Editoval suroviak3 (24. 10. 2013 21:51)

Konvergencia radu Raabeho kritériom

#2 25. 10. 2013 02:21 — Editoval vanok (25. 10. 2013 02:23)

Re: Konvergencia radu Raabeho kritériom

#3 25. 10. 2013 10:40 — Editoval suroviak3 (25. 10. 2013 10:42)

Re: Konvergencia radu Raabeho kritériom

#4 25. 10. 2013 10:53 — Editoval Brano (25. 10. 2013 11:51)

Re: Konvergencia radu Raabeho kritériom

#5 25. 10. 2013 11:01

Re: Konvergencia radu Raabeho kritériom

#6 25. 10. 2013 11:16 — Editoval suroviak3 (25. 10. 2013 11:40)

Re: Konvergencia radu Raabeho kritériom

#7 25. 10. 2013 11:35

Re: Konvergencia radu Raabeho kritériom

#8 25. 10. 2013 11:39

Re: Konvergencia radu Raabeho kritériom

#9 25. 10. 2013 11:39 — Editoval Brano (25. 10. 2013 12:13)

Re: Konvergencia radu Raabeho kritériom

#10 25. 10. 2013 12:30

Re: Konvergencia radu Raabeho kritériom

Zápatí