Matematické Fórum

Sulfan · 25. 10. 2013 17:25 — Editoval Sulfan (25. 10. 2013 17:26)

Dobrý den, řeším následující příklad z pravděpodobnosti:

Máme u schránek, v nichž je v každé m bílých a n černých stejně velkých obálek. Z prvé schránky náhodně vybereme obálku a vložíme ji do druhé. Z druhé opět vytáhneme jednu obálku a vložíme ji do třetí, atd. Určete pravděpodobnost toho, že po takovém přemístění vytáhneme z poslední schránky bílou obálku.

Uvažoval jsem od konce, pravděpodobnost, že v posledním tahu vytáhneme bílou obálku je rovna:

$P(\text{v posledním tahu bílá})=\frac{m+1}{m+n+1} \cdot P(\text{v předchozím tahu bílá})+ \frac{m}{m+n+1}\cdot P(\text{v předchozím tahu černá})$

zároveň:

$P(\text{v předposledním tahu bílá})=\frac{m+1}{m+n+1} \cdot P(\text{v předpředposledním tahu bílá})+ \\ \frac{m}{m+n+1}\cdot P(\text{v předpředposledním tahu černá})$

$P(\text{v předposledním tahu černá})=\frac{n+1}{m+n+1} \cdot P(\text{v předpředposledním tahu černá})+ \\\frac{n}{m+n+1}\cdot P(\text{v předpředposledním tahu bílá})$

a nějakým způsobem rekurzivně dojít k prvnímu tahu a využít, že

$P(\text{černá první tah})=\frac{n}{n+m}$

$P(\text{bílá první tah})=\frac{m}{n+m}$

ale nevím jak. Věděl by někdo jak na to?

Děkuji za odpověď.

Jj · 25. 10. 2013 22:46 — Editoval Jj (25. 10. 2013 22:51)

↑ Sulfan:

Pb,i - pravděpodobnost tahu bílé v i-tém tahu
Pc,i - detto černé
m + n = p

Řekl bych, že pro tah č. i+1 (kromě prvního) bude v souladu s Vámi uvedenými vztahy platit:

$P_{b,i+1}=P_{b,i}\cdot \frac{m+1}{p+1}+P_{c,i}\cdot \frac{m}{p+1}$

Pro libovolný tah musí platit:
$P_{b,i} + P_{c,i} = 1 \Rightarrow P_{c,i} = 1-P_{b,i}$

Čili
$P_{b,i+1}=P_{b,i}\cdot \frac{m+1}{p+1}+(1-P_{b,i})\cdot \frac{m}{p+1}\Rightarrow P_{b,i+1}=\frac{P_{b,i}+m}{p+1}$

a s využitím počáteční podmínky $P_{b,1} = \frac{m}{p}$ po úpravách obdržíme:
$P_{b,i}=\frac{m}{p}$ pro i = 1,2,3, ... u

Sulfan · 25. 10. 2013 23:09

↑ Jj:

Děkuji za srozumitelné vysvětlení - chybělo hlavně mi, že jsem si neuvědomil, že $P_{b,i} + P_{c,i} = 1 \Rightarrow P_{c,i} = 1-P_{b,i}$ , to byla ta druhá podmínka, která tu pravděpodobnost určí jednoznačně. Uděluji + ;).

Matematické Fórum

#1 25. 10. 2013 17:25 — Editoval Sulfan (25. 10. 2013 17:26)

Pravděpodobnost - nezávislost jevů

#2 25. 10. 2013 22:46 — Editoval Jj (25. 10. 2013 22:51)

Re: Pravděpodobnost - nezávislost jevů

#3 25. 10. 2013 23:09

Re: Pravděpodobnost - nezávislost jevů

Zápatí