Matematické Fórum

Dawidx · 25. 10. 2013 20:22

Ahoj, mám jednoduchou soustavu rovnic s parametrem:
$x+2y+3z=10$
$4x+py+6z=10$
$7x+8y+9z=10$
Spočítám v klidu, že pokud $p=5$ , tak nekonečně mnoho řešení vyjádřím fundamentálním systémem.
Pokud ale $p\not =5$ , mám problém.

Vyjdou rovnice:
$x+2y+3z=10$
$(8-p)y+6z=30$
$(5-p)z=25-5p$
Z poslední rovnice $z=5$ , ale co s druhou?
$(8-p)y=0$ , a buď $p=8$ , nebo $y=0$ . Co z toho? Pokud $p=8$ , pak $y\in R$ a je to v háji, páč nespočítám x.
Poraďte prosím, co s těmahle rovnicema, díky předem :)

LukasM · 25. 10. 2013 20:38

↑ Dawidx:
Proč bys nespočítal x? Pro $p=8 \wedge p\neq 5$ Ti jedna rovnice říká x+2y+3z=10, druhá i třetí z=5. Takže x=10-2y-3z=10-2y-15=-2y-5. Nic v háji není. Akorát prostě řešení není jen jedno. Vždyť je to to samé jako u prvního případu, kdy p bylo 5. Tam jsi také nemohl přímo spočítat jednu neznámou.

Dawidx · 25. 10. 2013 21:07

↑ LukasM:
Takže mám řešení rozdělit na p=5 a p<>5 a větev p<>5 ještě na p=8 a p<>8?
V p=8 by platilo z=5, y=R, x=-2y-5
a v p<>8 z=5, y=0, x=-5?

LukasM · 25. 10. 2013 22:46

↑ Dawidx:
Hele tak nějak by to bylo, ale máš vůbec ty úpravy dobře? Odkud vypadlo že p=8 je něčím zajímavé?
Mně přijde že jediné co by se mělo oddělit je případ p=5.

Dawidx · 25. 10. 2013 23:04

↑ LukasM:
že p=8 je zajímavé jsem vyčetl z rovnice (8-p)y=0, kde pro p=8 platí y=R, tam je zakopanej pes. A úpravy jsou dobře :)

LukasM · 25. 10. 2013 23:15 — Editoval LukasM (25. 10. 2013 23:17)

↑ Dawidx:
Tak si do samého zadání dosaď p=8 a vyřeš tu soustavu. Vyjde ti z=5, y=0, x=-5, stejně jako ve všech ostatních případech kromě p=5.

Ten problém je totiž v tom, že při poslední úpravě jsi vynásobil poslední řádek výrazem (8-p), což je pro p=8 neekvivalentní úprava. Jakékoli úvahy o p=8 budeš dělat, nesmíš je dělat v tom finálním tvaru, ale v nějakém předtím. Pro p=8 nemusí mít ta počáteční a upravená soustava stejné řešení.
Z toho ti tedy vyjde řešení pro p=5 a pro $p\neq 5 \wedge p\neq 8$ . Co se děje pro p=8 musíš vyřešit zvlášť, a zjistíš, že nic zvláštního.

Měl jsem to prve projít pořádně, abych tě nezavedl na scestí. Sorry. Kdyby sis na začátku prohodil druhý a třetí řádek, tak bys tohle řešit nemusel. V jednom kroku bys pak ke třetímu řádku přičetl (8-p) násobek toho předtím, a to můžeš i pro p=8 - to pak neděláš vlastně nic, a to se může.

Dawidx · 25. 10. 2013 23:19

↑ LukasM:
Hustý, díky. Reputace++ :)

Matematické Fórum

#1 25. 10. 2013 20:22

Trošku zapeklitá matice s parametrem

#2 25. 10. 2013 20:38

Re: Trošku zapeklitá matice s parametrem

#3 25. 10. 2013 21:07

Re: Trošku zapeklitá matice s parametrem

#4 25. 10. 2013 22:46

Re: Trošku zapeklitá matice s parametrem

#5 25. 10. 2013 23:04

Re: Trošku zapeklitá matice s parametrem

#6 25. 10. 2013 23:15 — Editoval LukasM (25. 10. 2013 23:17)

Re: Trošku zapeklitá matice s parametrem

#7 25. 10. 2013 23:19

Re: Trošku zapeklitá matice s parametrem

Zápatí