Matematické Fórum

rama27 · 26. 10. 2013 19:45

Ahoj,
Nechť $\varphi :[0,\infty )\Rightarrow [1,\infty )$ je bijekce a nechť $\psi(x) =\sqrt{\varphi ^{2}(x)-1}$
Dokažte, že existuje inverzní funkce $\psi^{-1}$ a vyjádřete ji pomocí $\varphi ^{-1}$ . Určete $D_{\varphi ^{-1}}$
Prosím o podrobný návod, jak na to. Sám se ani moc nevyznám v zadání. Díky moc

Andrejka3

↑ rama27:
Ahoj.
Čemu nerozumíš, mohl bys podrobněji popsat? Jak pak máme podrobně navést, aby to bylo srozumitelné, když nevíme, v čem máš problém?

rama27 · 27. 10. 2013 07:36

Potřeboval bych vysvětlit zadání, nechápu, co se po mně chce.

Andrejka3

↑ rama27:
Zápis:
1) Jakou informaci nám dává
$\varphi :[0,\infty )\rightarrow [1,\infty )$ :
znamená, že $\varphi$ je nějaká funkce. Zobrazuje $[0,\infty )$ do $[1,\infty )$ . Takže její definiční obor je $[0,\infty )$ . Neznáme obor hodnot $\varphi$ , ale protože víme, kam zobrazuje, tak jistě $R_{\varphi}=H_{\varphi}\subseteq [1,\infty)$ (nevím, jakým písmenkem značíte obor hodnot).

V zadání je, že $\varphi$ je bijekce. To znamená, že je vzájemně jednoznačným zobrazením množiny odkud zobrazuje a množiny kam zobrazuje. Takže $H_{\varphi}=R_{\varphi}=[1,\infty)$ . Každé číslo oboru hodnot má jediný vzor a každé číslo z definičního oboru má jediný obraz. Existuje tedy $\varphi^{-1}$ .
$\varphi^{-1}$ pošle každé číslo z oboru hodnot $\varphi$ na jeho vzor z $D_{\varphi}$ . Takže
$\varphi^{-1}:\:H_{\varphi}\rightarrow D_{\varphi}$ je bijekce a $\varphi^{-1}(\varphi (x))=x$ a naopak, $\varphi(\varphi^{-1}(y))=y$ .

Máš předpis pro $\psi (x)$ . Potřebuješ vědět, odkud kam zobrazuje, jestli je bijekce a pokud ano, jak vyjádřit její inverzi pomocí inverze $\varphi$ .

Můžeš na to jít 1) postupně: zkoumat $(\varphi (x))^2$ , pak $(\varphi (x))^2-1$ , pak $\sqrt{(\varphi (x))^2-1}$ . A využít faktu, že složení bijekcí je bijekce.
2) Nebo zjistit, jestli předpis pro $\psi$ má smysl pro celé $D_{\varphi}$ a vztah
$\psi(x) =\sqrt{\varphi ^{2}(x)-1}$ nějak invertovat - vyjádřit $x$ .