Matematické Fórum

Michal 64 · 26. 10. 2013 21:17

Ahoj, potřeboval bych prosím poradit jak na to.Mám následující úlohu:Vypoctejte souradnice teziste rovinne desky (desku sami umstete do zvolene soustavy souradnic a nacrtnete).

Zadání:
Ctvercova deska, o strane 1 m, ma kruhovy otvor o polomeru 15 cm, jehoz
stred, na stredn prcce ctverce, je od stredu ctverce vzdalen 25 cm. Hustota= x^2 + y^2.
K tomu sřed S čtverce je v počátku, střed kruhového otvoru je na ose x. V desce si myslíme otvor symetrický s daným otvorem podle osy y, jeho střed je S´. Pro hledané těžištěT[x,0] platí [S,T]=x [S´,T]=d-x . Z rovnováhy páky platí: poměr ramen je nepřímo úměrný poměru hmotností, tj. :x:(d-x)=pi*r^2:(a^2-2pi*r^2) . Odtud x=(pi*d*r^2)/(a^2-pi*r^2). V čitateli je statický moment přidaného otvoru k ose y, ve jmenovateli je rozdíl hmotností čtverce a kruhu.

Spočítal sem si hmotnost čtverce :
V podmínce je dáno, že Střed kruhu leží na střední příčce a zároveň na ose x teda čtverec je umístěn do tvaru kosočtverce se středem v počátku souřadnic a stačí mi spočítat hmotnost pro první kvadrant a tu vynásobit čtyřmi

$4*\int_{0}^{1}(\int_{0}^{1-x}x^2+y^2dy)dx=\frac{2}{3}$

Spočítal jsem si hmotnost kruhu:
Transmormoval jsem hodnoty do polárních souřadnic.V polárních souřadnicích sem si vytkl ró^2 a součet kvydrátu sin(fi) a cos(fi) je roven 1.Teda zbyl mě integrál ró^2.

$\int_{}^{}\int_{M}^{}x^2+y^2dydx=\int_{0}^{2\pi }(\int_{0}^{0.15}\varrho ^2d\varrho )d\varphi =0.001125*2\pi$

Spočítal jsem si statický moment přidaného kruhu k ose y:
Přidaná kruhová deska má stejné rozměry jako původní kruhová deska.Tedy výpočet momentu setrvačnosti provedu opět transformací do polárních souřadnic.Integrální meze jsou od ro<0,0.15> a fi<0,2pi>

$\int_{}^{}\int_{M}^{}(x^2+y^2)*xdxdy=\int_{0}^{2\pi }(\int_{0}^{0.15}cos\varphi *\varrho ^3d\varrho )d\varphi =0$

Tak a ted mi vyšla nula a to by neměla výsledek je takovej že $T[\frac{3\pi dr^4}{a^4-3\pi r^4},0]$
Tak nevim jak to jinak počítat protože přes polární souřadnice mi vychází moment setrvačnosti vzhledem k ose y 0.Můžete mi prosím porasit jak na to nebo co dělám špatně?Nevim si s tim rady díky

kaja.marik · 26. 10. 2013 22:10

No me tam neni jasnych nekolik veci. Hlavne: desku si mate umistit do soustavy souradnic, ale vite, ze hustota je x^2+y^2. Nekdo tu desku muze dat do pocatku, nekdo do bodu [2013,1989]. Potom to bude vychazet jinak.

Ale chybi mi tam treba jakobiany po prechodu do polarnich souradnic.

Michal 64

Ne je to tak že deska je umístěná v počátku a ten konečnej výsledek těžiště je pro desku počítanou v počátku.

Jo díky takže s Jakobiánem bude hmotnost kruhu:

$\int_{0}^{2\pi }(\int_{0}^{0.15}(\varrho ^2cos\varphi ^2+\varrho ^2sin\varphi ^2)*\varrho d\varrho )d\varphi =\int_{0}^{2\pi }(\int_{0}^{0.15}\varrho ^3d\varrho )d\varphi =\frac{0.15^4}{4}*2\pi$

A statický moment přidaného kruhu k ose y :

$\int_{0}^{2\pi }(\int_{0}^{0.15}\varrho ^4cos\varphi d\varrho )d\varphi =0$

Nicméně i po přidáni jakobiánu jsem se nepohl z místa a statický moment vzhledem k ose y mi vychází nula.

kaja.marik · 27. 10. 2013 09:39

Dal by se sem dat obrazek, jak to teda vypada? Porad to nechapu. Zda se, ze kruh nema stred v pocatku, ale pocitate to, jako kdyby mel.

Michal 64

Ok obrázek mám

//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-10/66353_%25C4%258Ctverec.GIF

Jo oba kruhy leží mimo střed.Takže to nemůžu počítat jako kdyby leželi ve středu vycházelo by to jinak.
Jinak teda bude i hmotnost čtverce na 1-X ale sqrt(2)/2 - x podobně jako x od 0 do sqrt(2)/2.

Hmotnost čtverce tedy:
$4*\int_{0}^{\sqrt{2}/2}(\int_{0}^{\sqrt{2}/2-x}x^2+y^2dy)dx=4*\int_{0}^{\sqrt{2}/2}(\sqrt{2}/2*x^{2}- x^{3}+1/3*(\sqrt{2}/2 -x)^{3})dx=\frac{1}{6}$

A kruh bych si opět převedl na polární souřadnice kde x bude posunuté střed v 0.25
$x=1/4 + \varrho cos\varphi$
$y=\varrho sin\varphi$
Pro výpočet hmotnosti kruhové desky

$\int_{0}^{2\pi }((\int_{0}^{r}(\frac{1}{16}+\frac{1}{2}rcos(\varphi )+r^{2}cos(\varphi )^{2}+r^{2}sin(\varphi )^{2} )*\varrho) d\varrho) d\varphi =\frac{1}{2}(\frac{\pi r^{2}}{8}+\pi r^{4})$

A pro statický moment podle osy y :
Střed je posunutý do bodu o x-ové souřadnici -0.25 tedy
$x=-\frac{1}{4}+cos(\varphi )\varrho$
$y=\varrho sin(\varphi )$

Integrál pro výpočet statického momentu kolem y

$x=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{r}((-\frac{1}{4}+rcos(\varphi ))^{3}+\varrho sin(\varphi )*(-\frac{1}{4}+rcos(\varphi ))d\varrho )d\varphi =-\frac{2\pi r}{64}-\frac{2\pi r^{3}}{12}$

A ted podle návodu vyděli moment y rozdílem hmotností čtverce a kruhu.Nicméně po odečtení a vydělení se nedostanu opět k správnému výsledku pro x-ovou souřadnici takže je opět něco špatně.Můžu dát do integrálu jako mez pro kruh r?Nebo musim napsat 0.25?Jsou správně napsaný polární souřadnice x a y?Dělal sem to podle příkladu ze sbírky integrálu pro fsv.cvut.Co značí ve výsledné x-ové souřadnici ve jmenovateli a? Díky za rady

kaja.marik · 27. 10. 2013 19:58

Trosku mne mate, ze diru mate na uhlopricce (ma byt jinde) a ze tam mate diry dve. Zkusim si to prepocitat jak budu mit cas a chut a dam behem zitra vedet.

Jeste: v zadani mate cisla, ve vysledcich a nekterych mezivypoctech pismenka. Je to v poradku?

Michal 64 · 27. 10. 2013 20:10

Takhle to chápu ze zadání kde je napsáno že kruh leží na ose x a zároveň také na střední příčce.Integrály mohu dopočítat s číslama ale nemyslim si, že by to byla cesta k výsledku pokud má vyjít těžíště tak jak je napsáno v prvním příspěvku.A druhá kruhová výseč tam byla namalovaná pouze pro moji představu má být osově symetrická s první přes osu y a právě z ní potom počítám statický moment k ose y.

kaja.marik · 27. 10. 2013 20:47

Ale stred Vaseho kruhu lezi na uhlopricce, ne na stredni pricce.

kaja.marik · 27. 10. 2013 22:08

Ten vysledek je urcit dobre? Je mozne sem poradne naskenovat cele zadani a cely vysledek?

V uvodnim prispevku to je trotsku chaos, ale mluvite tam o pomeru hmotnosti a pacujete s pomerem obsahu. A ve vypoctu statickeho momentu zase chybi jakobian. to jen tak na prvni pohled. Pocitam to jinou cestou a nevychazi. Ale mozna mam spatne nakresleny ten ctverec. Kreslil jsem ctverec se stredem v pocatku a strany rovnobezne s osami.

Michal 64 · 28. 10. 2013 11:49

Zadání zní :
Vypoctejte souradnice teziste rovinne desky (desku sami umstete do zvolene sou-
stavy souradnic a nacrtnete).
úloha 51:
Ctvercova deska, o strane 1 m, ma kruhovy otvor o polomeru 15 cm, jehoz
stred, na strední příčce čtverce, je od stredu ctverce vzdalen 25 cm. Hustota je
$\varrho =x^{2}+y^{2}$
K příkladu sou v dalším dokumentu přiložený i výsledky kde je napsána následující nápověda:
Střed S čtverce je umístěn v počátku, střed kruhového otvoru ja na ose x.V desce si myslíme otvor symetrický s daným otvorem podle osy y, jehož střed je S´.Pro hledané těžiště T=[x,0] platí |ST|=x |S´T|=d-x.Z rovnováhy páky platí: poměr ramen je nepřímo úměrný poměru hmotností, tj. x:(d-x)=pi*r^2:(a^2-2*pi*r^2).Odtud $x=\frac{\pi dr^{2}}{a^{2}-\pi r^{2}}$ V čitateli je statický moment přidaného otvoru vzhledem k ose y a ve jmenovateli je rozdíl hmotností čtverce a kruhu
Pak je napsanej výsledek: $T[\frac{3\pi dr^{4}}{a^{4}-3\pi r^{4}},0]$

No takže v zadání je napsáno, že má ležet na střední příčce.Střední příčka by měla být spojnice středů protilehlých stran.Takže ted sem to asi pochopil.Nicméně hmotnost se rovná dvojnému integrálu hustoty podle učebnice.Pravda ten jakobián mi tam utekl skusim to řepočítat s nim.

kaja.marik

Michal 64 napsal(a):
Z rovnováhy páky platí: poměr ramen je nepřímo úměrný poměru hmotností, tj. x:(d-x)=pi*r^2:(a^2-2*pi*r^2).

Pomer ramen vidim, pomer hmotnosti nikoliv.

Muj vypocet (maxima, staci vlozti treba do http://user.mendelu.cz/marik/yamwi )

Code:

/*hmotnost ctverce*/
M_ctverce:4*integrate(integrate(x^2+y^2,x,0,a),y,0,a); 

/*hmotnost kruhu*/
M_kruhu:expand(integrate(integrate((d^2+r^2+2*d*r*cos(phi))*r,r,0,R),phi,0,2*%pi));

/*staticky moment kruhu*/
SM_kruhu:expand(integrate(integrate((d+r*cos(phi))*(d^2+r^2+2*d*r*cos(phi))*r,r,0,R),phi,0,2*%pi));

/*teziste plneho ctverce znam, takze sestavuji rovnici*/
rovnice: M_ctverce*0=SM_kruhu+teziste*(M_ctverce-M_kruhu);
solve(rovnice,teziste);

kaja.marik

↑ Michal 64:
Tento vysledek pro $x$ je skutecne souradnice teziste, ale pokud je $\rho=1$ . To plyne, pokud modifikujete kod v predchozim prispevku pro $\rho=1$ a uvazite, ze muj ctverec ma stranu delky $2a$ . Bojim se, ze vysledky jsou spatne. To by odpovidalo i tomu, ze misto podilu hmotnosti maji podil obsahu. V pripade konstantni hustoty to totiz je totez. A to $T$ uz podle mne s tim predchozim vypoctem nijak nesouvisi.

Verim, ze se na tomto shodneme a protoze z uvednich prispeku se zda ze i pocitani dvojnych integralu zvladate, myslim, ze muzeme uzavrit a treba to prodiskutujte s vyucujicim. Anebo treba to jeste nekdo z vazenych clenu fora po me prekontroluje.

Jeste: integraly jsem si pocital pochopitelne nejpve rucne. Casto tam jsou cleny typu $\int_0^2\int_0^{2\pi}r^4\cos\phi \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\phi$ . Takovy integral se pochopitelne nepocita, ale rovnou se napise, ze je nula. Verim, ze si pri pocitani takto praci usnadnuete (psal jsem jenom vysledky).

Michal 64 · 28. 10. 2013 14:46

Děkuji skusím to také přepočítat podle vás tedy pro čtverec jehož strany jsou rovnoběžné s osami.

Matematické Fórum

#1 26. 10. 2013 21:17

Výpočet momentu setrvačnosti desky s kruhovým otvorem

#2 26. 10. 2013 22:10

Re: Výpočet momentu setrvačnosti desky s kruhovým otvorem

#3 26. 10. 2013 22:53 — Editoval Michal 64 (26. 10. 2013 22:54)

Re: Výpočet momentu setrvačnosti desky s kruhovým otvorem

#4 27. 10. 2013 09:39

Re: Výpočet momentu setrvačnosti desky s kruhovým otvorem

#5 27. 10. 2013 13:13 — Editoval Michal 64 (27. 10. 2013 13:34)

Re: Výpočet momentu setrvačnosti desky s kruhovým otvorem

#6 27. 10. 2013 19:58

Re: Výpočet momentu setrvačnosti desky s kruhovým otvorem

#7 27. 10. 2013 20:10

Re: Výpočet momentu setrvačnosti desky s kruhovým otvorem

#8 27. 10. 2013 20:47

Re: Výpočet momentu setrvačnosti desky s kruhovým otvorem

#9 27. 10. 2013 22:08

Re: Výpočet momentu setrvačnosti desky s kruhovým otvorem

#10 28. 10. 2013 11:49

Re: Výpočet momentu setrvačnosti desky s kruhovým otvorem

#11 28. 10. 2013 12:47 — Editoval kaja.marik (28. 10. 2013 12:48)

Re: Výpočet momentu setrvačnosti desky s kruhovým otvorem

Michal 64 napsal(a):

Code:

#12 28. 10. 2013 12:57 — Editoval kaja.marik (28. 10. 2013 13:01)

Re: Výpočet momentu setrvačnosti desky s kruhovým otvorem

#13 28. 10. 2013 14:20 Příspěvek uživatele Michal 64 byl skryt uživatelem Michal 64. Důvod: Nesmysl

#14 28. 10. 2013 14:46

Re: Výpočet momentu setrvačnosti desky s kruhovým otvorem

Zápatí