Matematické Fórum

Keeeeke · 28. 10. 2013 21:37

Ahoj,
mohl by mi, prosim, někdo obsahleji poradit, jak řešit tuto rovnici. Nikdy jsem nic obdobneho neresil :-) a nevim co s tim. Diky

$3^{|x-\frac{1}{4}|+2}-2xsin\pi x=5$

byk7 · 29. 10. 2013 00:08

obávám se, že ta rovnice (v R) nemá řešení.

Se pokouším nějak rozumně dokázat nerovnost
$3^{|x-1/4|+2}-5>2x\sin$\pi x$$
to se mi ale zatím nedaří.

jelena · 29. 10. 2013 09:05

↑ byk7:

Zdravím,

já jsem se včera na rovnici dívala (ale dohled nad samostatnou práci mi už čas neposkytl - v mezičase jsem vybírala vtipy s dopravní tematikou do hodin ruštiny - DÚ).
Také jen námět - levá strana nerovnice odvozena od exponenciální, která má minimum pro x=1/4. Pravá strana nerovnice - mohli bychom zkusit prokázat, že je omezena y=2x a y=-2x? A pomohlo by to?

Kolega ↑ Keeeeke: někde psal, že studuje pedagogiku, mívá celkem podnětné úlohy na pomezí matematických seminářů a olympiád. Myslím, že by spíš takové úlohy s komentářem zdroje mohl dávat do zajímavých pro SŠ - mohlo by se využit i jinak. Tak? Teď přesunu.

Keeeeke · 29. 10. 2013 10:08

↑ jelena:
Děkuji za tip, ale nepomohlo :-).

byk7 · 29. 10. 2013 13:13

Důkaz převzatý z AoPS:
Platí
$3^{|x-1/4|+2}-5>2x\sin$\pi x$=2$x-\frac14$\sin(\pi x)+\frac12\sin(\pi x),$
ale také
$2$x-\frac14$\sin(\pi x)+\frac12\sin(\pi x)\le2\left|$x-\frac14$\sin(\pi x)\right|+\frac12\le2\left|x-\frac14\right|+\frac12\ .$
Nechť je
$t:=\left|x-\frac14\right|\ge0\quad\text{a}\quad f(t):=3^{t+2}-2t-\frac{11}{2}\ .$
Zřejmě platí
$f'(t)=3^{t+2}\ln(3)-2\ge9\ln(3)-2>0,$
první derivace je kladná, funkce $f$ je tedy rostoucí, z čehož plyne
$f(t)\ge f(0)=\frac72>0.$
Takže nerovnost platí.

(Protože rovnice
$3^{|x-1/4|+2}-2\left|x-\frac14\right|-\frac{11}{2}=0$
nemá řešení, nemá řešení ani rovnice
$3^{|x-1/4|+2}-2\left|x-\frac14\right|-\frac{11}{2}\le3^{|x-1/4|+2}-2x\sin(\pi x)-5=0.$
)

jelena · 29. 10. 2013 15:31 — Editoval jelena (29. 10. 2013 15:33)

↑ byk7:

Zdravím a děkuji,

ta na AoPS bylo přímo jako úloha z některé soutěže, nebo jsi konzultoval?

Jelena napsal(a):
Pravá strana nerovnice - mohli bychom zkusit prokázat, že je omezena y=2x a y=-2x

vidíš, ze sudosti $2x\sin$\pi x$$ jsem předpokládala, že bude $-2x\leq 2x\sin$\pi x$ \leq 2x$ , ale nakonec omezení napravo platí, ale nalevo "ne docela"?

kolega Ondra napsal(a):
$2$x-\frac14$\sin(\pi x)+\frac12\sin(\pi x)\le2\left|$x-\frac14$\sin(\pi x)\right|+\frac12\le2\left|x-\frac14\right|+\frac12\ .$

Ale uznáš, že patří spíše do zajímavých (i další rovnice, co kolega dával před časem - asi přesunu).

byk7 · 29. 10. 2013 22:45

↑ jelena:

Ne, není to soutěž, ale konzultace. :-)

Nerovnost $-2x\leq 2x\sin$\pi x$ \leq 2x$ platí jen pro $x\ge0$ , ale pro $x\le0$ zas platí opačné nerovnosti, tj. $-2x\geq 2x\sin$\pi x$ \geq 2x$ .

Abys mohla určit omezení pro všechna $x$ , tak bych asi použil $-2|x|\leq 2x\sin$\pi x$ \leq 2|x|$ (místo funkcí y=2x a y=-2x používám funkce y=|2x| a y=-|2x|).

Nutná podmínka pro existenci řešení zadané rovnice by byla existence průsečíku funkcí $3^{|x-1/4|+2}-5$ a $2|x|$ , což možná vede k důkazu nerovnosti $3^{|x-1/4|+2}-5>2|x|$ , jejíž důkaz může být ještě jednodušší než mojí $3^{|x-1/4|+2}-5>2x\sin$\pi x$$ , ale nevím, nezkoušel jsem.

Jistě, je to pěkná (tj. zajímavá) úloha. :-)