Matematické Fórum

petronius

Dobrý večer...
Máme nasledovný problém: lano ktorého dĺžku ( L ) a hrúbku ( d ) poznáme namotáme na kotúč s polomerom R tak že po namotaní bude mať kotúč s lanom polomer 3R..je možné nájsť závislosť medzi počtom namotaných vrstiev tohoto lana a počtom namotaných vrstiev lana ktorého hrúbka bude polovičná ( d/2 ) ale dlžka ( L ) rovnaká?

KennyMcCormick

Neumím si to moc dobře představit.

Ten kotouč se skládá jen z jedné vrstvy lana, nebo má určitou délku?

EDIT: Už je mi to asi jasné, zřejmě to bude kotouč o určité délce.

petronius · 31. 10. 2013 11:24

↑ KennyMcCormick: Ten kotúč má pevný polomer...keď namotávane lano tak sa samozrejme polomer kotúča s lanom zväčšuje s každou vrstvou až do 3R.

zdenek1 · 31. 10. 2013 14:26

↑ petronius:
v prvním případě je $dl=\pi(9r^2-r^2)=8\pi r^2$ (1)
počet vrstev je $n=\frac{2r}d$

ve druhém případě je $\frac d2l=\pi(x^2-r^2)$ - kde $x$ je poloměr, kam dosahuje tenčí lano
z toho $dl=2\pi(x^2-r^2)$ (2)
porovnáním (1) a (2)
je
$8\pi r^2=2\pi(x^2-r^2)$
$x=\sqrt5 r$
počet vrstev $n^\prime=\frac{x-r}{\frac d2}=\frac{2(\sqrt5-1)r}d$
pak
$\frac{n^\prime}{n}=\sqrt{5}-1$