Matematické Fórum

Margareeta · 20. 01. 2009 09:37

Prosím o pomoc s tímto příkladem. Snažila jsem se to spočítat pomocí řádkových a sloupcových úprav, ale je to na dlouho. Neexistuje jednodušší způsob?

1 2 3 4 5
0 1 2 3 4
D= 2 1 2 1 -2
-1 3 2 1 4
2 -1 2 -1 2

musixx · 20. 01. 2009 09:45

↑ Margareeta: V takovych pripadech byva docela rychla kombinace radkovych uprav (treba provest cast Gaussovy eliminace) s Laplaceovym rozvojem - treba si vsimat, jestli v nejakem radku/sloupci nezustalo dost nul. Kdyz v tomto konkretnim priklade pomoci Gausse dostanes nuly pod hlavni diagonalu pouze v prvnim sloupci a pak udelas Laplace podle tohoto prvnich sloupce, zustane jediny determinant 4. radu. Ten opet Laplacem dava 4 determinanty 3. radu, ktere uz spocitas z hlavy (Sarusovo pravidlo). Pokud budes mit stesti, tak nekde v te matici 4. radu bude nula, no a kdyz pro rozvoj Laplacem vyberes spravny radek/sloupec, bude se pocet determinantu 3. radu jeste snizovat.

ttopi · 20. 01. 2009 09:51 — Editoval ttopi (20. 01. 2009 09:54)

Pokud to někdo spočte, ať mi řekne výsledek. Mě vyšlo -120 ale mému telefonu vyšlo -80 :-(

EDIT: A programu v PC vyšlo také -120...

jendula11 · 20. 01. 2009 09:57

mě to vyšlo -120

musixx · 20. 01. 2009 10:17 — Editoval musixx (20. 01. 2009 10:22)

$\left|\begin{matrix}1&2&3&4&5\nl0&1&2&3&4\nl2&1&2&1&-2\nl-1&3&2&1&4\nl2&-1&2&-1&2\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}1&2&3&4&5\nl0&1&2&3&4\nl0&-3&-4&-7&-12\nl0&5&5&5&9\nl0&-5&-4&-9&-8\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}-4&-7&-12\nl5&5&9\nl-4&-9&-8\end{matrix}\right|+3\cdot\left|\begin{matrix}2&3&4\nl5&5&9\nl-4&-9&-8\end{matrix}\right|+5\cdot\left|\begin{matrix}2&3&4\nl-4&-7&-12\nl-4&-9&-8\end{matrix}\right|+5\cdot\left|\begin{matrix}2&3&4\nl-4&-7&-12\nl5&5&9\end{matrix}\right|=$

$108+3\cdot(-6)+5\cdot(-24)+5\cdot(-18)=-120$ ,
kde jsem udelal Laplace podle prvnich dvou sloupcu.

EDIT: A kdybych to udelal podle prvniho a posledniho sloupce, tak bych se dokonce zbavil i te neprijemne 12, 8 a 9, tedy pomerne velkych cisel. Vsiml jsem si az ted, takze uz to nebudu prepisovat. :-(

Marian · 20. 01. 2009 13:47

Potvrzuji výsledek -120. Navíc mohu říci, že tuto úlohu už jsem viděl.
:-)

Samozřejmě se připojuji k myšlence kombinovat řádkové a sloupcové úpravy v kombinaci s Laplaceovým rozvojem. To je nejrychlejší cesta k cíli, jak naznačuje ↑ musixx:.

Marian · 20. 01. 2009 14:29 — Editoval Marian (20. 01. 2009 14:30)

↑ Margareeta:
Našel jsem ještě tuto zajímavou variantu řešení:
$\left|\begin{matrix}1&2&3&4&5\nl0&1&2&3&4\nl2&1&2&1&-2\nl-1&3&2&1&4\nl2&-1&2&-1&2\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix} 9& -2& 11& 0& 13\nl 6& -2& 8& 0& 10\nl 4& 0& 4& 0& 0\nl 1& 2& 4& 0& 6\nl 2& -1& 2& -1& 2 \end{matrix}\right |.$
Zde jse nechal poslední řádek původního determinantu a k němu přičítal čtvrtý řádek (tak vznikl čtvrý řádek nového determinantu), stejně s třetím řádkem, druhý řádek nového determinantu vznikl jako součet trojnásobku posledního a druhého řádku původního determinantu, analogicky první řádek (násobil jsem čtyřkou řádek poslední a přičítal k prvnímu). Laplaceův rozvoj dává
$\left|\begin{matrix} 9& -2& 11& 0& 13\nl 6& -2& 8& 0& 10\nl 4& 0& 4& 0& 0\nl 1& 2& 4& 0& 6\nl 2& -1& 2& -1& 2 \end{matrix}\right |=(-1)\cdot (-1)^{5+4}\cdot \left|\begin{matrix} 9& -2& 11& 13\nl 6& -2& 8& 10\nl 4& 0& 4& 0\nl 1& 2& 4& 6 \end{matrix}\right |.$
Nyní první sloupec budu násobit minus jedničkou a přičítat ke sloupci třetímu, ostatní sloupce nechám, tedy:
$\left|\begin{matrix} 9& -2& 2& 13\nl 6& -2& 2& 10\nl 4& 0& 0& 0\nl 1& 2& 3& 6 \end{matrix}\right |.$
Lapalceův rozvoj podle třetího řádku dává
$\left|\begin{matrix} 9& -2& 2& 13\nl 6& -2& 2& 10\nl 4& 0& 0& 0\nl 1& 2& 3& 6 \end{matrix}\right |=4\cdot\left |\begin{matrix} -2& 2& 13\nl -2& 2& 10\nl 2& 3& 6 \end{matrix}\right |.$
Nyní nechám poslední řádek a budu jej přičítat k prvnímu a druhému řádku. Odtud
$4\cdot\left |\begin{matrix} -2& 2& 13\nl -2& 2& 10\nl 2& 3& 6 \end{matrix}\right |= 4\cdot\left |\begin{matrix} 0& 5& 19\nl 0& 5& 16\nl 2& 3& 6 \end{matrix}\right |=4\cdot 2\cdot\left |\begin{matrix} 5& 19\nl 5& 16 \end{matrix}\right |=8\cdot (5\cdot 16-5\cdot 19)=\boxed{-120.}$