Matematické Fórum

Carolina · 30. 10. 2013 22:14

prosim potřebovala bych pomoct s prvni derivaci. vychazi mi že neni rovna nule nikdy, řitom by mela byt rovna když je x = 0. diky!

arcsin((1-x^2)/(1+x^2))

jelena · 30. 10. 2013 23:53

Zdravím,

pokud mám věřit WA (vyšlo Tobě stejně?), tak v x=0 derivace neexistuje, tedy je to stacionární bod dle definice. Ale jeho zařazení bude třeba vyšetřit jinak (nejspíš pomocí jednostranných derivací).

Vychází Tobě tak? Děkuji.

The_Founder · 31. 10. 2013 16:18

Tu máš riešenie
//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-10/32713_IMG1.jpg

jelena · 31. 10. 2013 16:20

↑ The_Founder:

Zdravím a děkuji,

ovšem v samotném derivování pravděpodobně problém není (dávám odkaz na WA, jelikož je to pohodlnější v tomto okamžiku na kontrolu). V posledním řádku ovšem bez uvádění podmínek máš krácení $x.$ A to je zádrhel, na která narazila kolegyně ↑ Carolina:.

x=0 je zde stacionární bod, ve kterém derivace neexistuje - ↑ příspěvek 2:. je tak? Děkuji.

byk7 · 31. 10. 2013 16:21

Máš tam chybu, protože $\sqrt{4x^2}=2|x|\neq2x$ , takže
$\cdots=\frac{-2x}{|x|$x^2+1$}=\frac{-2|x|\,\mathrm{sgn}(x)}{|x|$x^2+1$}=\frac{-2\,\text{sgn}(x)}{x^2+1}$

The_Founder · 31. 10. 2013 16:30

↑ byk7:
viem o "mojej chybe", ale nechcel som použiť absolútnu hodnotu, aby bolo jasné ako som sa má dostať k výsledku.
Som rád, že si mi vytkol túto chybu, aspoň vidím, že to tu niekto kontroluje :)

Rumburak

↑ Carolina:

Kolega ↑ The_Founder: ovšem mlčky používá předpoklad, že se hodnoty zlomku $\frac{1-t^2}{1+t^2}$ pohybují
v otevřeném intervalu $(-1 , 1)$ , protože aby zde bylo možno použít větu o derivaci složené funkce,
jak kolega činí, nutno předpokládat existenci vtastní derivace funkce arcsin , což pro t = 0 splněno není .

Derivaci funkce $f(x) := \arcsin \frac{1-x^2}{1+x^2}$ v bodě x = 0 nutno vyšetřit z definice derivace , tj.
zkoumáním limity

$L := \lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\arcsin \frac{1-h^2}{1+h^2} - \frac{\pi}{2}}{h} = ...$ .

The_Founder · 31. 10. 2013 17:29

↑ Rumburak:
musím sa priznať, že som neskúmal ako sa správa arcsin v bode 0.
Ale rád sa čosi nového naučím :)
Takže poďme na to.
Po dosadení nuly dostávam $\lim_{h \to 0} \frac{\arcsin \frac{1-h^2}{1+h^2} - \frac{\pi}{2}}{h}=\frac{0}{0}$
takže som použil L`Hospitalova a po upravení derivácií som dostal
$\lim_{h \to 0} \frac{\frac{-2}{1+x^{2}}} {1}=-2$
Myslím si, že som postupoval správne. Takže sa rád nechám poučiť...

byk7 · 31. 10. 2013 17:41

↑ The_Founder:

Nepostupoval. :-)

Rumburak

↑ The_Founder:

K tomu použití L'H. pravidla:

$\lim_{h \to 0} \frac{\arcsin \frac{1-h^2}{1+h^2} - \frac{\pi}{2}}{h} =?= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{$\frac{1-h^2}{1+h^2}$'}{\sqrt{1-$\frac{1-h^2}{1+h^2}$^2}}}{1}=\lim_{h \to 0} \frac{$\frac{1-h^2}{1+h^2}$'}{\sqrt{1-$\frac{1-h^2}{1+h^2}$^2}} = \\=\lim_{h \to 0}\frac{ \frac{-2h(1+h^2)-(1-h^2)\cdot 2h}{(1+h^2)^2}}{\sqrt{\frac {(1+h^2)^2 - (1-h^2)^2}{(1+h^2)^2}}}=\lim_{h \to 0}\frac{-4h}{\sqrt{4h^2}} = \lim_{h \to 0}\frac{-2h}{|h|}= -2 \lim_{h \to 0} \mathrm{sgn}(h)$ ,

poslední limita (oboustranná) neexiatuje. Jednostranné limity jsou $\pm 2$ , tomu odpovídají pouze jednostranné
derivace té původní funkce .

Matematické Fórum

#1 30. 10. 2013 22:14

derivace

#2 30. 10. 2013 23:53

Re: derivace

#3 31. 10. 2013 16:13 Příspěvek uživatele The_Founder byl skryt uživatelem The_Founder. Důvod: Chybne som označil deriváciu

#4 31. 10. 2013 16:18

Re: derivace

#5 31. 10. 2013 16:20

Re: derivace

#6 31. 10. 2013 16:21

Re: derivace

#7 31. 10. 2013 16:30

Re: derivace

#8 31. 10. 2013 16:51 — Editoval Rumburak (31. 10. 2013 16:52)

Re: derivace

#9 31. 10. 2013 17:29

Re: derivace

#10 31. 10. 2013 17:41

Re: derivace

#11 01. 11. 2013 12:00 — Editoval Rumburak (01. 11. 2013 16:22)

Re: derivace

Zápatí