Matematické Fórum

Jakub1 · 02. 11. 2013 07:59

Dobrý deň, nejako neviem vyriešiť túto úlohu:

"Dokážte, že pre všetky $k,l$ , pre ktoré platí: $k>l\wedge k,l\in (0,1)$ platí táto nerovnosť:

$k^{4}+k^{2}l^{2}(l^{2}-3)+l^{2}>0$ "

Všetky postupy, ktoré som skúšal (rozklad na súčin, korene polynómu, ...) neviedli k žiadnemu jednoznačnému záveru, preto je každá Vaša rada vítaná.

Ďakujem.

zdenek1 · 02. 11. 2013 09:11

↑ Jakub1:
předpokládejme, že výraz může být nulový
$k^4+k^2l^2(l^2-3)+l^2=0$
tohle je bikvadratická rovnice pro $k$ , jejíž diskriminant
$D=(l^2(l^2-3))^2-4l^2=l^2(l^3-3l-2)(l^3-3l+2)=l^2(l-1)^2(l+1)^2(l^2-4)$
Potom $\sqrt D=l(l-1)(l+1)\sqrt{l^2-4}$
protže ale $0<l<1$ , je pod odmocninou záporné číslo, takže rovnice nemá v reálných číslech řešení. Dále je u $k^4$ kladný koeficient, takže výraz je vždy kladný.

Stačí?

Bati · 02. 11. 2013 09:25

↑ Jakub1:
Ahoj.
Také se na to dá přijít tak, když si člověk uvědomí, že $(k^2-l)^2=k^4-2k^2l+l^2$ . Potom platí
$k^4+l^2+k^2l^2(l^2-3)=(k^2-l)^2+2k^2l+k^2l^2(l^2-3)=(k^2-l)^2+k^2l(l^3-3l+2)$ . Nyní stačí pomocí derivace zjistit, že funkce $l^3-3l+2$ nabývá v bodě 1 globálního maxima v intervalu [0,1].