Matematické Fórum

isofer · 02. 11. 2013 13:48

Mohl by mi někdo vysvětlit, jak se došlo k těmto limitám? Děkuji.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-11/96520_Schr%25C3%25A1nka01.gif

bejf · 02. 11. 2013 14:05

↑ isofer:
Ahoj. Důležité je zeptat se hned na začátku, jestli víš proč je řešením definiční obor, který je zde uveden?

isofer · 02. 11. 2013 14:08

↑ bejf:
to netuším proč je definiční obor takovýhle

bejf · 02. 11. 2013 14:20

↑ isofer:
Tím pádem se nauč vlastnosti logaritmické funkce.
Logaritmus je definován jen pro kladná čísla (do těch se nula nepočítá, takže v předpisu se nestane, že bychom dělili nulou). Pak dále logaritmus není definován v jedničce, proto v definičním oboru není.
Na základě znalosti těchto vlastností určíš definiční obor jaký je uveden na obrázku.

Pak dále nakreslíš pro lepší orientaci graf logaritmické funkce. V jedničce tato funkce není spojitá, protože funkce je spojitá jen na celém svém definičním oboru. Do D(f) jednička nepatří, takže v jedničce není funkce spojitá.

bejf · 02. 11. 2013 16:42

↑ isofer:
Pak aby ses posunul dále, tak nakreslíš graf funkce $f:y=\frac{x}{\ln x}$ nebo si ho zobrazíš na stroji.

Tady je nutné poznamenat, že limity hledáme defacto u krajních bodů definičního oboru postupně zleva doprava.
Proto se hledá první limita taková, která jde k nule zprava (protože daná funkce je definovaná JEN napravo od nuly, tak limitu zleva hledat nemusíme a ani nemůžeme). Proto označení $x\to0^{+}$ .
Pak vtipně dosadíš kladnou nulu do předpisu, z čehož vyjde v čitateli nula, a ve jmenovateli vyjde z logaritmu nuly $-\infty$ . A nula děleno čímkoli je opět nula. Čili tato limita se rovná 0. Podobným stylem vyřešíš následující dvě limity.

Poslední limita se řeší tzv. l'Hospitalovým pravidlem.
Výraz $\frac{\infty}{\infty}$ patří k paletě neurčitých výrazů, které vyjdou dosazením nekonečna do předpisu limity funkce. l'H pravidlo umožňuje udělat první derivaci čitatele zvlášť a jmenovatele zvlášť (nejedná se o derivaci podílu - pozor!).
Derivace samotného x je jednička. Derivace logaritmu z x je $\frac{1}{x}$ . Takže ti vychází, že hledáš limitu
$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\frac{1}{x}}$ , což lze upravit na $\lim_{x\to\infty}x$ .
Teď když dosadíš nekonečno za x, tak vyjde nekonečno.

Matematické Fórum

#1 02. 11. 2013 13:48

limity

#2 02. 11. 2013 14:05

Re: limity

#3 02. 11. 2013 14:08

Re: limity

#4 02. 11. 2013 14:20

Re: limity

#5 02. 11. 2013 16:42

Re: limity

Zápatí