Matematické Fórum

Aching5oul · 02. 11. 2013 16:23

Zdarec, potreboval by som pomoct vyriesit tento priklad. Najlepsie by bolo aj s postupom, ďakujem. :)

jelena · 02. 11. 2013 20:42

Zdravím v tématu (i kolegu bejf, který svůj příspěvek skryl). Pokud je zájem, tak můžeme otevřít a ještě diskutovat. Téma jsem přesouvala do SŠ, jelikož užití vektorového součinu se bere již na SŠ.

Můj návrh je takový, že vycházím z postupu pro obsah rovnoběžníku přes zadání stran u, v a s použitím vektorového součinu - jako je uvedeno v příkladu 4. Ovšem nemám u, v - strany rovnoběžníku, ale jeho uhlopříčky. Lze zapsat vektor uhlopříčky přes vektory stran?

↑ Aching5oul:

je vidět, jak můžeme pokračovat v návrhu? Nebo máš více použitelný - například z vašich materiálů? Děkuji.

Aching5oul · 02. 11. 2013 21:18

Ja viem ako dostať ten obsah, u mňa je problém dostať dĺžky strán toho rovnobežníka.

jelena · 02. 11. 2013 21:21

↑ Aching5oul:

pokud si představíš rovnoběžník a jeho strany jako vektory u, v. Jak vznikne vektor delší úhlopříčky ze stran? A jak vektor kratší úhlopříčky?

Aching5oul · 02. 11. 2013 23:15

↑ jelena:

u + v = dlhšia uhlopriečka
- u + v = kratšia uhlopriečka ?

jelena · 03. 11. 2013 00:02

↑ Aching5oul:

ano, teď zkus mezi sebou vektorově (dle pravidel pro vektorový součin) vynásobit vektory $(u+v)\times (-u+v)$

Aching5oul

↑ jelena:

$\vec{u}+\vec{v}=\vec{AC}$
$-\vec{u}+\vec{v}=\vec{DB}$
čiže
$\overrightarrow{AC}\text{x}\overrightarrow{DB}$
$(2\vec{a}-\vec{b})\text{x}(4\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b})$

a teraz ked vieme, že vektory a, b sú jednotkové a medzi nimi je uhol 45°, tak majú súradnice
$\vec{a}=(1;0;0)$
$\vec{b}=(\frac{\sqrt{2}}{2};0;\frac{\sqrt{2}}{2})$
potom si vypočítame súradnice AC, DB
$\vec{AC}=(\frac{4-\sqrt{2}}{2};0;\frac{-\sqrt{2}}{2})$
$\vec{DB}=(\frac{8-5\sqrt{2}}{2};0;\frac{-5\sqrt{2}}{2})$
pomocou determinantu som vyrátal, že ten výsledný vektor má súradnice
$\vec{w}=(0\vec{i};-3\sqrt{2} \vec{j};0\vec{k})$
vypocítame si jeho dĺžku, ktorá je $3\sqrt{2}$ a sa rovná obsahu rovnobežníka

jelena · 03. 11. 2013 11:23

↑ Aching5oul:

děkuji, teď to nepřekontroluji, mám jiné plány (dějepis :-)), později. Zkus ještě, prosím, dotáhnout tento návrh ↑ příspěvek 7: přesně v zápisu, jak je, bez upřesnění vektorů (jak jsi udělal), uvidíš zajímavý vztah, co vznikne. Děkuji.

Aching5oul · 03. 11. 2013 12:11

↑ jelena:
$(u+v)\times (-u+v)$
$(u_{1}+v_{1};u_{2}+v_{2};u_{3}+v_{3})\times (-u_{1}+v_{1};-u_{2}+v_{2};-u_{3}+v_{3})$

a teraz to dosadiť do determinantu a vypočítať?

Aching5oul · 03. 11. 2013 12:35

↑ Aching5oul:
po vypočítaní determinantu mi vyšlo
$(2u_{2}v_{3}-2u_{3}v_{2})\vec{i}-(2u_{1}v_{3}-2u_{3}v_{1})\vec{j}+(2u_{1}v_{2}-2u_{2}v_{1})\vec{k}$

jelena · 03. 11. 2013 16:02 — Editoval jelena (04. 11. 2013 00:11)

Omlouvám se, že to chvilku trvalo, Tvůj postup jsem překontrolovala až do vektoru $\vec{b}=(\frac{\sqrt{2}}{2};0;\frac{\sqrt{2}}{2})$ , ten mi vyšel jinak - zůstávám v rovině xOy a mám:
$\vec{b}=(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$ - ve výsledku se to snad neprojeví?

Použitím mého postupu jsem pomocí vzorce pro distributivitu odvodila, že
$2(\mathbf{u} \times \mathbf{v})=\mathbf{AC} \times \mathbf{DB}$ , odkud je vzorec pro výpočet obsahu rovnoběžníku přes jeho úhlopříčky:
$S=\frac{1}{2}(\mathbf{AC} \times \mathbf{DB})$

dál jsem pořad používala pravidla pro vektorový součin (bez determinantů) a ve výsledku mám obsah rovnoběžníku $\frac{3\sqrt2}{2}$ , ale nemohu najít, v čem se lišíme.

Aching5oul · 03. 11. 2013 16:09

↑ jelena:
Polovica obsahu sa používa pri výpočte obsahu trojuholníka. nie?

jelena · 03. 11. 2013 16:12

↑ Aching5oul:

pokud používáš vektorový součin stran, potom je obsah stejný jako součin (a máš pravdu o polovině pro trojúhelník), ale já jsem použila vzorec pro vektorový součin úhlopříček, tam je polovina součinu (jelikož i je to z odvození).

Aching5oul · 03. 11. 2013 16:16

↑ jelena:

Aha, ďakujem, a aká by bola druhá metóda výpočtu? Nájsť neako výšku rovnobežníka a všeobecným vzorcom vypočítať obsah?

jelena · 03. 11. 2013 16:23

↑ Aching5oul:

už také vidím, že jsi použil úhlopříčky, tedy máš mít polovinu svého výsledku (zkus si to třeba nakreslit).

Já mám dojem, že máme 2 různé metody - já jsem jen používala pravidla pro distributivitu vektorového součinu a s původním zadáním úhlopříček vůbec nic nedělala - na závěr používám v "původním stavu" až do vyjádření přes jednotkové vektory $S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot |a|\cdot |b| \cdot \sin \alpha$ . Ty jsi naopak nejdřív upravoval vektory úhlopříček, aby šlo použit v ortonormální bázi i, j, k - což je jiný postup, řekla bych.

Ale můžeš pokračovat, určitě :-)

Aching5oul · 03. 11. 2013 20:57

↑ jelena:

A mohli by ste mi napisat ako ste dostali tu 6 vo vzroci $S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot |a|\cdot |b| \cdot \sin \alpha$ ?

jelena · 03. 11. 2013 23:58 — Editoval jelena (04. 11. 2013 00:12)

↑ Aching5oul:

zapsala jsem vektorový součin:
$S=\frac{1}{2}(\mathbf{AC} \times \mathbf{DB})=\frac{1}{2}(2\mathbf{a}-\mathbf{b}) \times (4\mathbf{a}-5\mathbf{b})$
a roznásobovala jsem ho za použití pravidel pro distributivitu (a dalších pro vektorový součin, např. že axa=0) až jsem došla k $\frac{1}{2}\cdot 6(\mathbf{b}\times \mathbf{a})$ , raději si to překontroluj, prosím.

Aching5oul · 04. 11. 2013 00:06

↑ jelena:
mno ale ja mám zadaný vektor $\vec{DB}$ a nie $\vec{AD}$

Aching5oul · 04. 11. 2013 00:07

↑ jelena:

Ale aj tak diki za pomoc velmi mi to pomohlo :)

jelena · 04. 11. 2013 00:08

↑ Aching5oul:

děkuji, to je jen překlep, jak jsem kopírovala. Opravím všude.

Matematické Fórum

#1 02. 11. 2013 16:23

Vektorový součin vektoru

#2 02. 11. 2013 17:26 Příspěvek uživatele bejf byl skryt uživatelem bejf.

#3 02. 11. 2013 20:42

Re: Vektorový součin vektoru

#4 02. 11. 2013 21:18

Re: Vektorový součin vektoru

#5 02. 11. 2013 21:21

Re: Vektorový součin vektoru

#6 02. 11. 2013 23:15

Re: Vektorový součin vektoru

#7 03. 11. 2013 00:02

Re: Vektorový součin vektoru

#8 03. 11. 2013 10:54 — Editoval Aching5oul (03. 11. 2013 11:20)

Re: Vektorový součin vektoru

#9 03. 11. 2013 11:23

Re: Vektorový součin vektoru

#10 03. 11. 2013 12:11

Re: Vektorový součin vektoru

#11 03. 11. 2013 12:35

Re: Vektorový součin vektoru

#12 03. 11. 2013 16:02 — Editoval jelena (04. 11. 2013 00:11)

Re: Vektorový součin vektoru

#13 03. 11. 2013 16:09

Re: Vektorový součin vektoru

#14 03. 11. 2013 16:12

Re: Vektorový součin vektoru

#15 03. 11. 2013 16:16

Re: Vektorový součin vektoru

#16 03. 11. 2013 16:23

Re: Vektorový součin vektoru

#17 03. 11. 2013 20:57

Re: Vektorový součin vektoru

#18 03. 11. 2013 23:58 — Editoval jelena (04. 11. 2013 00:12)

Re: Vektorový součin vektoru

#19 04. 11. 2013 00:06

Re: Vektorový součin vektoru

#20 04. 11. 2013 00:07

Re: Vektorový součin vektoru

#21 04. 11. 2013 00:08

Re: Vektorový součin vektoru

Zápatí