Matematické Fórum

ivanya · 02. 11. 2013 13:53

Prosim poradte ako s tymto dalej?

$P(x)=x^{6}-1$

Je zrejme, ze +1 je koren polynomu. Tzn. ze mozem vybrat (x-1) pred dany vyraz ale co dalej?
$P(x)=(x-1)?$

gadgetka

Pěkné odpoledne, rozlož to podle vzorečku:
$(x^3)^2-1^2 = a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
a dostaneš další vzoreček: $x^3\pm 1=a^3\pm b^3$

ivanya · 02. 11. 2013 14:15

↑ gadgetka:

$P(x)=x^{6}-1=(x^{3})^{2}-1^{2}=(x^{3}-1)(x^{3}+1)=(x-1)(x^{2}+x+1)(x+1)(x^{2}-x+1)$

Da sa s tym urobit este nieco viac?

zdenek1 · 02. 11. 2013 14:44

↑ ivanya:
Pokud jde o rozklad, tak ne.

ivanya · 02. 11. 2013 14:55

↑ zdenek1:

Ano zadanie znelo rozlozit na korenove cinitele.

ivanya · 02. 11. 2013 15:00

2. priklad

$P(x)=4x^{6}-16x^{5}-7x^{4}+29x^{3}-x^{2}-13x+4$

Rozlozene Horderovou schemou na:

$P(x)=(x-1)(x+1)^{2}(4x^{3}-20x^{2}+17x-4)$

Posledny polymer sa mi nedari rozlozit ani pomocou +-1,+-2,+-4.
Je to teda vysledok?

vanok · 02. 11. 2013 15:02 — Editoval vanok (02. 11. 2013 22:26)

↑ ivanya:
Poznamka:
Dalej ( v prvom cviceni) mozes ist, len ak poznas aj komplexne korene tvojej rovnice.
Ale ucili ste sa uz o kompleknych korenoch?

gadgetka

$4x^3-20x^2+17x-4=(x-4)(4x^2-4x+1)$

A přijít na to se dá rozložením toho polynomu:
$4x^3-16x^2-4x^2+16x+x-4=4x^2(x-4)-4x(x-4)+(x-4)=(x-4)(4x^2-4x+1)$

ivanya · 03. 11. 2013 11:50

↑ gadgetka:

A nasledne uz vypocitam kvadraticku rovnicu, kde ale D vyjde odmocnina z 0... tym padom mi vyjde x1 aj x2 rovnake cislo = 1/2.
Takze rozlozeny polynom vyzera nasledovne:
$P(x)=(x-1)(x+1)^{2}(x-4)(x-\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})$

gadgetka

nebo úhlednější zápis: ;)
$P(x)=(x-4)(x-1)(x+1)^{2}(2x-1)^2$

ivanya · 03. 11. 2013 12:36

↑ vanok:

$x^{2}+x+1$
$x^{2}-x+1$
Ak to skusam vyriesit ako kvadraticku rovnicu D mi vychadza zaporne cislo...

gadgetka · 03. 11. 2013 13:12

V tom případě je to řešitelné v oboru komplexních čísel...

vanok · 03. 11. 2013 13:32

↑ ivanya:
Poznamka: tieto vety sa daju dokazat (ale az na vysokej skole)
Na obore realnych cisiel kazdy polynom sa da rozlozit na sucin ( nereduktibilnych) faktorov prveho alebo druheho stupna.
Na obore komplexnych cisiel kazdy polynom sa da rozlozit na sucin ( nereduktibilnych) faktorov prveho stupna.
Pozor, ako si si vsimla, aj ked to vieme teoreticky rozlozit, to neznamena, ze je to jednoduche (alebo, ze vzdy vieme ten rozklad najst)

Ale na strednej skole ucitelia vyberaju take priklady ze taky rozklad je mozny...

ivanya · 03. 11. 2013 13:39

↑ vanok:

Ako by vyzeralo riesenie na urovni komplexnych cisiel? Len tak zo zvedavoasti :)

vanok · 03. 11. 2013 14:08

napr $x^{2}+x+1=0$ ma diskriminant $D=1^2- 4.1.1=-3$ a tak dva korene
$x_1=\frac {-1+i \sqrt 3} 2 \\ x_2=\frac {-1-i \sqrt 3} 2$
a preto $x^{2}+x+1=(x-x_1)(x-x_2)$ ( mozes sama dosadit tie vypocitane korene.) i je imaginarna jednotka.

No ak ste sa tie komplexne korene neucili este, trochu trpezlivosti a pridete aj k tomu.

Dobre pokracovanie v matematike

Matematické Fórum

#1 02. 11. 2013 13:53

Rozklad polynomu na sucin

#2 02. 11. 2013 13:58 — Editoval gadgetka (02. 11. 2013 13:59)

Re: Rozklad polynomu na sucin

#3 02. 11. 2013 14:15

Re: Rozklad polynomu na sucin

#4 02. 11. 2013 14:44

Re: Rozklad polynomu na sucin

#5 02. 11. 2013 14:55

Re: Rozklad polynomu na sucin

#6 02. 11. 2013 15:00

Re: Rozklad polynomu na sucin

#7 02. 11. 2013 15:02 — Editoval vanok (02. 11. 2013 22:26)

Re: Rozklad polynomu na sucin

#8 02. 11. 2013 15:54 — Editoval gadgetka (02. 11. 2013 16:07)

Re: Rozklad polynomu na sucin

#9 03. 11. 2013 11:50

Re: Rozklad polynomu na sucin

#10 03. 11. 2013 12:02 — Editoval gadgetka (03. 11. 2013 12:03)

Re: Rozklad polynomu na sucin

#11 03. 11. 2013 12:36

Re: Rozklad polynomu na sucin

#12 03. 11. 2013 13:12

Re: Rozklad polynomu na sucin

#13 03. 11. 2013 13:32

Re: Rozklad polynomu na sucin

#14 03. 11. 2013 13:39

Re: Rozklad polynomu na sucin

#15 03. 11. 2013 14:08

Re: Rozklad polynomu na sucin

Zápatí