Matematické Fórum

TerezaG · 03. 11. 2013 12:18

Zdravím :)
Mám problém s počítáním limit funkcí..: Tak například

$\lim_{x\to0}(cosx)^{\frac{1}{x^2}}$ počítám limitu Lopitalovým pravidlem, ale už na začátku nevím, podle jakého vzorce mám funkci rozložit a pak počítat derivaci

Děkuji moc :)

Hertas · 03. 11. 2013 12:37

$(cosx)^\frac{1}{x^2}=e^{\frac{lncosx}{x^2}}$ a počítáš limitu exponentu, kde už ti půjde l'Hospital

TerezaG · 03. 11. 2013 12:45

↑ Hertas:
L´opital mi ale nejde :( .. asi to špatně derivuji..
$\lim_{x\to0}\frac{lncosx}{x^2}$ bude $\frac{\frac{1}{x}cosx+ln \cdot sinx}{2x}$ no a co teď ? :/

TerezaG · 03. 11. 2013 12:46

↑ TerezaG:
V čitateli bude (-sinx) omlouvám se

Tomas.P

↑ TerezaG:
Ahoj, limitu v exponentu můžeš řešit po úpravě pomocí tabulkových limit (1) $\lim_{x\to1}\frac{ln(x)}{x-1}=1$ a (2) $\lim_{x\to0}\frac{1-cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2}$ . U limity využívající vztah (1) budeš limitu řešit jako složenou fci, u limity využívajcící vztah (2) budeš muset vytknout -1.
Nápověda:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

TerezaG · 03. 11. 2013 16:09

↑ Tomas.P:
Super, už chápu :)

Teď se omlouvám, že sem napíši ještě jeden příklad, bude to nejspíš něco podobného.. ale nevím, jak se dostat k nějaké normální derivaci :

$\lim_{x\to+\infty }x(\pi -2arctgx)$
Děkuji za radu :))

bismarck · 03. 11. 2013 16:24

↑ TerezaG:

$\lim_{x\to\infty }x(\pi -2arctgx)=$ upravite na $=\lim_{x\to\infty }\frac{\pi -2\cdot tan^{-1}(x)}{\frac{1}{x}}=$

použijete L´Hosp. p. $=\lim_{x\to\infty }\frac{-2\cdot \frac{1}{x^{2}+1}}{-\frac{1}{x^{2}}}=$

zložený zlomok upravite/ zjednodušite výraz $=\lim_{x\to\infty }\frac{2x^{2}}{x^{2}+1}=$

použijete L´Hosp. p., výsledok je 2

lukas93 · 03. 11. 2013 16:33

Pokud se nemýlím tak je to takto:

$\lim_{x\to+\infty }x(\pi -2arctgx)=\infty*(\pi-2*\frac{\pi_{-} }{2})=\infty*0_{+}=\infty$

Pokud si nakreslíš graf arctg tak zjistíš že hodnota v nekonečnu je o trochu menší než $\frac{\pi}{2}$ a proto počítáš s $\frac{\pi_{-}}{2}$

//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-11/92667_Graf_arctg.png

TerezaG · 03. 11. 2013 23:26

↑ bismarck:
Vychází to podle výsledku, ale omlouvám se, ale nechápu tu úpravu, kde je ve jmenovateli $\frac{1}{x}$ apod. .. mohl/a by jste to trochu rozepsat ? .. nebo, co je to za úpravu ?
Děkuji :)

bismarck · 04. 11. 2013 07:05

↑ TerezaG:

$x=\frac{1}{\frac{1}{x}}$

$x(\pi -2arctgx)= \frac{1}{\frac{1}{x}}(\pi -2arctgx)=\frac{\pi -2arctgx}{\frac{1}{x}}$

Upravuje sa to, aby sa mohli použiť L'Hospitalovo pravidlo
$\lim_{x\to\infty }\frac{\pi -2\cdot tan^{-1}(x)}{\frac{1}{x}}=\frac{0}{0}$ - použijú sa

TerezaG · 04. 11. 2013 07:12

↑ bismarck:
Ahá, super, fakt moc děkuji :))

Matematické Fórum

#1 03. 11. 2013 12:18

Limita funkce

#2 03. 11. 2013 12:37

Re: Limita funkce

#3 03. 11. 2013 12:45

Re: Limita funkce

#4 03. 11. 2013 12:46

Re: Limita funkce

#5 03. 11. 2013 13:13 — Editoval Tomas.P (03. 11. 2013 13:22)

Re: Limita funkce

#6 03. 11. 2013 16:09

Re: Limita funkce

#7 03. 11. 2013 16:24

Re: Limita funkce

#8 03. 11. 2013 16:33

Re: Limita funkce

#9 03. 11. 2013 16:35 Příspěvek uživatele TerezaG byl skryt uživatelem TerezaG.

#10 03. 11. 2013 23:26

Re: Limita funkce

#11 04. 11. 2013 07:05

Re: Limita funkce

#12 04. 11. 2013 07:12

Re: Limita funkce

Zápatí