Matematické Fórum

perwin · 03. 11. 2013 17:47 — Editoval perwin (03. 11. 2013 19:08)

Dobrý den,

potřeboval bych pomoct.
Snažím se vypočítat poloměr kružnice, která prochází body [-m, 0], [j, k] a [m, 0] a střed má souřadnice [x, y].
EDIT: Neznám hodnoty x ani y, musím se jich tedy zbavit; znám pouze hodnoty j, k a m.

Nákres kružnice:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-11/97196_vypocet_polomeru.png

Zapsal jsem to tedy nějak takto:

$(j - x)^{2} + (k - y)^{2} = r^{2}$
$(m - x)^{2} + y^{2} = r^{2}$
$(m + x)^{2} + y^{2} = r^{2}$

Snažím se dostat výsledek ve tvaru $r = ...$ .

Proměnnou y jsem si vyjádřil z prvních 2 rovnic jako
$y = \frac{1}{2} - \frac{m - j}{2k} \cdot (1 - 2x)$

Jakmile ale toto dosadím do 3 rovnice, tak tak to teprve začne být peklo:
$m^{2} + x^{2} + 2mx + \frac{m^{2} + j^{2} - 2mj}{4k^{2}} \cdot (1 + 4x^{2} - 4x) + \frac{1}{4} - \frac{m - j}{2k} \cdot (1 - 2x) = r^{2}$

A po roznásobení závorek mi vznikne strašně dlouhý vzorec, který se mi i zdá nemožné upravit do chtěného tvaru $r = ...$ .

Dokážete mi s tím někdo prosím pomoci?
Děkuji.

gadgetka

$r=\sqrt{(x-m)^2+(y-0)^2}=\sqrt{(x+m)^2+(y-0)^2}=\sqrt{(x-j)^2+(y-k)^2}$

Jj · 03. 11. 2013 18:19

↑ perwin:

Dobrý večer,
řekl bych, že z rozdílu druhé a třetí rovnice plyne x = 0. To by mohlo výpočet zjednodušit.

perwin · 03. 11. 2013 19:06

↑ gadgetka:

Děkuji, ale to mi moc nepomůže, pokud neznám hodnoty x ani y.

↑ Jj:

Mám ve sých rovnicích chybu, teď jsem si toho všiml.
Nelze dát do rovnosti 2. a 3. rovnici, jelikož se nikdy nebudou rovnat (znaménko + a - to ukazují).
Jak bych tedy měl vlastně sestavit tyto rovnice, aby odpovídali nákresu?

Děkuji.

gadgetka

Když dáš do rovnosti vektory, vyjde ti, že střed má souřadnice (0; y), což je logické, protože body (-m,0) a (m,0) leží na ose x.

perwin · 03. 11. 2013 19:49

↑ gadgetka:

Tak jak mám tedy vypočítat poloměr této kružnice, pokud znám pouze vzdálenosti j, k a m?

Děkuji.

Jj · 03. 11. 2013 19:59

↑ perwin:

Ještě znáte x = 0, tzn. eliminovat y v rovnicích:

$j^{2} + (k - y)^{2} = r^{2}$
$m^{2} + y^{2} = r^{2}$

gadgetka · 03. 11. 2013 20:06

Když si to namaluješ do soustavy souřadnic, tak souřadnice y u středu je rovna -m.

perwin · 03. 11. 2013 20:10 — Editoval perwin (03. 11. 2013 20:10)

↑ Jj:

Pravda, znám i x, vůbec jsem si to neuvědomil, děkuji.

Ale jenom takto se mi nepodaří eliminovat všechna y, zbude mi toto:

$y = \frac{j^{2} + k^{2} - m^{2}}{2k}$

To znamená, že nelze vypočítat poloměr jenom s těmito údaji?
Děkuji mnohokrát za rady.

gadgetka · 03. 11. 2013 20:12

Ono je to nakonec velmi jednoduché, protože pata výšky leží v bodě (0,0), tím pádem poloměr kružnice je úhlopříčkou čtverce o straně m. :)

perwin · 03. 11. 2013 20:18

↑ gadgetka:

Jakto? Vzdálenost od bodu S do bodu [0, 0] přece není m.
Navíc do finálního vzorce musí být nějakým způsobem zapojeny i zbývající 2 proměnné: j a k.

gadgetka · 03. 11. 2013 20:20

Já vím, že musí, já jen říkám, co vidím... :)

Jj · 03. 11. 2013 20:26

↑ gadgetka:

Řekl bych, že asi bylo něco přehlédnuto.

↑ perwin:

Hodnotu
$y = \frac{j^{2} + k^{2} - m^{2}}{2k}$

dosadit za y do rovnice $r^{2} = m^{2} + y^{2}$

perwin · 03. 11. 2013 20:42 — Editoval perwin (03. 11. 2013 20:45)

↑ Jj:

Aha, takže platí, že:

$r = \sqrt{m^{2} + (\frac{j^{2} + k^{2} - m^{2}}{2k})^{2}} = \sqrt{j^{2} + (k - \frac{j^{2} + k^{2} - m^{2}}{2k})^{2}}$

Děkuji mnohokrát! :)

PS: Nedá se nějak odvodit poloměr bez analytické geometrie? Tedy myslím skrz goniometrické funkce a Pythagorovu větu.

Jj · 03. 11. 2013 20:58

↑ perwin:

Každá ze tří původních rovnic je postavena na Pythagorově větě.

Matematické Fórum

#1 03. 11. 2013 17:47 — Editoval perwin (03. 11. 2013 19:08)

Výpočet poloměru kružnice, která prochází danými body

#2 03. 11. 2013 18:14 — Editoval gadgetka (03. 11. 2013 18:18)

Re: Výpočet poloměru kružnice, která prochází danými body

#3 03. 11. 2013 18:19

Re: Výpočet poloměru kružnice, která prochází danými body

#4 03. 11. 2013 19:06

Re: Výpočet poloměru kružnice, která prochází danými body

#5 03. 11. 2013 19:20 — Editoval gadgetka (03. 11. 2013 19:22)

Re: Výpočet poloměru kružnice, která prochází danými body

#6 03. 11. 2013 19:49

Re: Výpočet poloměru kružnice, která prochází danými body

#7 03. 11. 2013 19:59

Re: Výpočet poloměru kružnice, která prochází danými body

#8 03. 11. 2013 20:06

Re: Výpočet poloměru kružnice, která prochází danými body

#9 03. 11. 2013 20:10 — Editoval perwin (03. 11. 2013 20:10)

Re: Výpočet poloměru kružnice, která prochází danými body

#10 03. 11. 2013 20:12

Re: Výpočet poloměru kružnice, která prochází danými body

#11 03. 11. 2013 20:18

Re: Výpočet poloměru kružnice, která prochází danými body

#12 03. 11. 2013 20:20

Re: Výpočet poloměru kružnice, která prochází danými body

#13 03. 11. 2013 20:26

Re: Výpočet poloměru kružnice, která prochází danými body

#14 03. 11. 2013 20:42 — Editoval perwin (03. 11. 2013 20:45)

Re: Výpočet poloměru kružnice, která prochází danými body

#15 03. 11. 2013 20:58

Re: Výpočet poloměru kružnice, která prochází danými body

Zápatí