Matematické Fórum

Svářeč

Zdravím, řeším rovnici $e^{x}-xsinx=0$

Potřebuji nějakým rozumným způsobem (= nemusí to být nějaký matematický hardcore) dokázat, že na intervalu $(0,+\infty )$ rovnice nemá řešení. Je možný následující způsob?

Vyjádřím si:

$\frac{e^{x}}{x}=sinx$ Čehož nelze dosáhnout, jelikož maximální hodnota sinu je 1 a výraz $\frac{e^{x}}{x}$ je vždy větší než jedna (jelikož e^x roste rychleji než x). Což už snad není potřeba dokazovat, ale mohl bych ještě takhle:

$\frac{e^{x}}{x}>1$
${e^{x}}>x$ Já vím, násobit proměnou by se nemělo, ale stejně to řeším jen pro kladná čísla, tak to snad nevadí, ne?
$x>lnx$ Což evidentně platí pro všechna $x \in (0,+\infty )$ protože x roste rychleji než lnx. Ale to je vlastně to samé a jak to dokázat, to už nevím a asi je to už zbytečné, zas na tak vysokém levelu tu matiku ještě nemáme aby to bylo třeba :)

Lze to takhle použít?
Jak byste to případně udělali vy?

Díky

Oxyd · 03. 11. 2013 01:52

Přijde mi to jako rozumný důkaz.

Platí poměrně známá nerovnost $\mathrm{e}^x \ge 1 + x$ s tím, že rovnost nastává jenom pro x = 1. Možná by stačilo se prostě odkázat na tohle a říct, že to je obecně známá nerovnost a nedokazovat ji.

Jinak to, že něco roste rychleji než něco jiného ještě neznamená, že to musí být všude větší. Například $e^x - 1000000$ roste stejně rychle jako $\mathrm{e}^x$ , která roste rychleji než lineární funkce $x$ , ale například pro x = 1 bude $\mathrm{e}^1 - 1000000 < 1$ .

Formol · 03. 11. 2013 01:57 — Editoval Formol (03. 11. 2013 02:03)

↑ Svářeč:
Ahoj,
myslím, že by to takhle mohlo stačit, snad jen s poznámkou, že bys měl mít nerovnost neostrou. Násobit nerovnici proměnnou klidně můžeš, jen musíš myslet na to, že se bude relace chovat jinak při násobení kladným a jinak při násobení záporným číslem.

Nerovnost $e^x \ge x$ můžeš pro x>0 pokládat za "zjevnou". Pokud chceš skutečně překomplikovaný důkaz, můžeš vyjít z toho, že jsou obě funkce spojité na R, prosté na R, v x=0 nerovnost platí a pro všechna kladná x je derivace vlevo větší než derivace napravo (tedy $e^x \ge 1$ ). Ale to už je trochu drbání se levou rukou za pravým uchem...

edit: omlouvám se za duplicitu, ještě jsem si při odpovědi vařil kávu:-)

Svářeč

Díky :) Nicméně při neostré nerovnosti by tam pořád byla ta možnost, že se obě strany nerovnice rovnají a tudíž ta základní rovnice by pro kladná x mohla mít jeden kořen, ne?

Oxyd · 03. 11. 2013 02:14

Mně není jasné, proč Formol navrhuje nerovnost neostrou. Jsem si celkem jistý, že ta nerovnost platí ostře, a to prostě proto, že (s odkázáním na tu neostrou nerovnost, kterou jsem napsal výš): $\mathrm{e}^x \ge 1 + x > x$ , tudíž $\mathrm{e}^x > x$ .

Formol · 03. 11. 2013 19:50

↑ Oxyd:
Jen moje nepozornost, řešil jsem jako obvykle několik věcí najednou.

Matematické Fórum

#1 03. 11. 2013 01:02 — Editoval Svářeč (03. 11. 2013 01:19)

důkaz

#2 03. 11. 2013 01:52

Re: důkaz

#3 03. 11. 2013 01:57 — Editoval Formol (03. 11. 2013 02:03)

Re: důkaz

#4 03. 11. 2013 02:04 — Editoval Svářeč (03. 11. 2013 02:13)

Re: důkaz

#5 03. 11. 2013 02:14

Re: důkaz

#6 03. 11. 2013 19:50

Re: důkaz

Zápatí