Matematické Fórum

Piskotik · 01. 11. 2013 19:44

Nejsem si jist touto úloho. Dle věty vím, že rovnice má právě jedno řešení, pokud b patří do oboru hodnot, což platí a že funkce musí být prostá. Ale to prý nestačí, musí se vybrat více těch možností.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-11/31451_maaa.JPG

teolog · 01. 11. 2013 20:06

↑ Piskotik:
Zdravím,
pokud je funkce prostá, není náhodou zároveň ostře klesající, případně ostře monotónní?

Brano · 01. 11. 2013 20:28 — Editoval Brano (01. 11. 2013 20:28)

↑ teolog:
nie nemusi byt, napr. taka funkcia
$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x}& x\not=0\\0 & x=0\end{cases}$
je prosta, ale nie je monotonna.

↑ Piskotik:
ja to chapem tak, ze mas vybrat tie moznosti, ktore sami o sebe zarucia jednoznacnost riesenia, t.j. nie nejak dohromady - cize ich treba vnimat nezavisle.

Brano · 01. 11. 2013 20:33

a) to by stacilo, ale taka funkcia s danymi predpokladmi neexistuje
b) ditto
c) zo zadania to f uz dokonca splna a urcite to na jednoznacnost nestaci
d) nestaci
e) staci (to je uplne z definicie)
f) ak teda klesajuca je u vas to co sa obvykle vola nerastuca (myslim si to kvoli tomu, ze mate pojem ostro klesajuca) tak to urcite nestaci

zdenek1 · 01. 11. 2013 20:43

↑ Brano:
Není to tedy žádný argument, ale já si funkci, která je prostá na celém $\mathbb R$ a má jako obor hodnot uzavřený interval, nedovedu představit. DOcela by mě taková funkce zajímala. (A to nemyslím ironicky)

Brano · 01. 11. 2013 20:46

ved nemoze byt spojita - dokonca jedine co mi napadaju su extremne hnusne - skusim porozmyslat nad niecim co by sa dalo aspon nejak slusne zapisat

Brano · 02. 11. 2013 11:06 — Editoval Brano (03. 11. 2013 14:33)

to ze existuje nekonecne vela bijekcii medzi $R$ a $[0,100]$ vieme z teorie mnozin, ide o to len nejaku skonstruovat.
EDIT: nasledujuca konstrukcia je zbytocne komplikovana - napadla ma ako prva kvoli tomu, ze som nieco podobne konstruoval, ked som hladal nejake dostatocne slusne bijekcie medzi $R^2$ a $R$ - ale tuto to je zbytocne - v dalsom prispevku je jednoduchsia

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Brano · 02. 11. 2013 16:00 — Editoval Brano (03. 11. 2013 14:40)

Napadla mi aj jednoduchsia konstrukcia:
uvazujme funkciu
$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{e^x+1} & e^x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{N}\\ \frac{1}{e^x-1} & e^x\in\mathbb{N}\setminus\{1\} \\ 0 & x=0\end{cases}$
a staci overit, ze sa jedna o bijekciu $\mathbb{R}\to [0,1]$ .

PS: cele to stoji na trivialnej myslienke - predstavme si, ze chceme najst nejaku (jednoducho zapisanu) bijekciu $f:(x_0,x_1)\to [x_0,x_1]$ , pre $x_0<x_1$ . Kedze $(x_0,x_1)$ je nespocitatelna, tak vieme najst nekonecnu spocitatelnu mnozinu $Q\subseteq (x_0,x_1)$ , $Q=\{x_n;n=2,3,...\}$ . A mozme definovat
$f(x)=\begin{cases}x & x\not\in Q \\ x_{n-2} & x= x_n\in Q\end{cases}$ .