Matematické Fórum

stereo-total-music · 03. 11. 2013 16:35

Zdravím,
řeším průběh funkce:
$f(x)=e^{x}-x\cdot sinx$

Při určení lokálních extrémů řeším f'(x)=0:
$e^{x}-sinx-x\cdot cosx=0$
Což neumím spočítat, potřeboval bych zde poradit.

Průběh funkce f(x) řeším, abych mohl použít Newtonovu metodu na rovnici:
$e^{x}-x\cdot sinx=0$

jelena · 03. 11. 2013 23:38

Zdravím,

pokud potřebuješ odhad pro umístění kořenů (pro začátek Newton. metody), potom se mi zdá vyšetření funkce $f(x)=e^{x}-x\cdot \sin x$ nepříliš pohodlné. Asi se bude snadněji odhadovat, když zakreslíš grafy $g(x)=e^{x}$ a $h(x)=x\cdot \sin x$ (plyne z přepisu Tvé rovnice $e^{x}=x\cdot \sin x$ ) a odhadneš místo průsečíku těchto funkcí.
Tvá derivace - také nepůjde přesně najít kořeny pro body podezřelé z extrému (tedy se mi nezdá, že bys touto cestou došel k výsledku). Je to vidět? Děkuji.

Eratosthenes · 04. 11. 2013 00:01

↑ stereo-total-music:

Ahoj,

Myslím, že nasazovat průběh funkce kvůli Newtonově metodě je zbytečné. Přibližné kořeny zjistíš, když si funkci necháš namalovat nějakým kreslítkem.

jelena · 04. 11. 2013 14:50

↑ Eratosthenes:

Zdravím,

říkáme v podstatě totéž (ovšem mám dojem, že když mám povolené kreslítko, tak mám i kořeny). Autor tématu by mohl upřesnit, zda se předpokládá užití kreslítka, nebo odhad intervalu je prováděn ručně - jako např. v zadání.

Eratosthenes · 04. 11. 2013 22:06

jelena napsal(a):
↑ Eratosthenes:

...ovšem mám dojem, že když mám povolené kreslítko, tak mám i kořeny...

Není to tak docela pravda - kreslítko umožní jen dost hrubý odhad, ne šest (osm, deset) míst tak, jak je často požadováno, asi těžko.

Pokud jde o "ruční odhad" - ten je možný u relativně jednoduchých funkcí. Tady bych už na něj asi příliš nesázel...

jelena · 05. 11. 2013 00:35

↑ Eratosthenes:

Zdravím a děkuji,

Pokud jde o "ruční odhad" - ten je možný u relativně jednoduchých funkcí. Tady bych už na něj asi příliš nesázel...

součin x a sin(x) je snad silně jednoduché na ruční kreslení, alespoň si to tak představuji (a také si představuji, že dostupná kreslítka mohu donutit vykreslovat na požadovaný počet míst - nebo které kreslitko je považováno za dostupné?). Tak doufám, že kolega ještě upřesní.

stereo-total-music · 05. 11. 2013 21:39

Zdravím, děkuji za reakce.
V zadání příkladu je vyšetření průběhu funkce. Já předpokládal, že graf mám nakreslit až po vyšetření průběhu funkce. Napadlo mě určit Taylora nějakého stupně rovno nule, to samé u inflexních bodů. Spočítám zítra.

Eratosthenes · 05. 11. 2013 23:25

↑ stereo-total-music:

No, já bych to řekl asi takto: Funkce sinus má nekonečně mnoho kořenů k*pi, stejné kořeny má i x.sinx. pro x>0 je e^x>x.sinx => rovnice nemá kladné kořeny. Pro x<0 funkce e^x klesá a rychle se blíží nule =>rovnice má nekonečně mnoho záporných kořenů - pro klesající x jsou stále blíž k hodnotám k.pi. Metoda, které by získala všechny kořeny, neexistuje, protože je jich nekonečně mnoho a nemají konstantní rozdíl. Co je zde myšleno "pravděpodobností", vůbec netuším a v "numerické praxi" si takovou "pravděpodobnostní" metodu nedovedu vůbec představit...

stereo-total-music

Edit:
Metodou získání reálných kořenů bez znalosti grafu byl myšlen algoritmus ve Fortranu, který (tuším) vypočítal několik prvních kořenů (s náhodným počátečním nástřelem) a zjistil konvergující rozdíl mezi kořeny. Pokud má konvergující řada rozdílu analytický předpis, pak je možné přesně zjistit obecný předpis pro všechny kořeny. Pokud konvergující rozdíl nemá předpis, pak je možné zjistit pouze aproximace kořenů (k*pi) - tedy zjistit, že rozdíl nikdy nepřekročí (k*pi) z obou stran, což jde dokázat právě tím, že (e^x) konverguje k nule.

stereo-total-music

Edit:
Ovšem předpis těch rozdílů hodnot se vlastně zjistit nedá, protože známe jenom aproximace těch kořenů, neznáme je přesně :).

Eratosthenes · 12. 11. 2013 00:00

↑ stereo-total-music:

Nevím, co si mám představit pod pojmem "konvergující perioda". Perioda je číslo a to konvergovat ani divergovat nemůže. Nehledě k tomu, že žádná z funkcí $e^{x}$ , $x\cdot sinx$ , $e^{x}-x\cdot sinx$ periodická není...

stereo-total-music · 13. 11. 2013 22:37

↑ Eratosthenes:
Omlouvám se, já tím myslel, že vzdálenost mezi jednotlivými kořeny konverguje do jedné hodnoty, jak se (x) blíží mínus nekonečnu. To je asi zřejmé. Periodické nejsou, to jsem si spletl pojmy.

Matematické Fórum

#1 03. 11. 2013 16:35

Průběh funkce

#2 03. 11. 2013 23:38

Re: Průběh funkce

#3 04. 11. 2013 00:01

Re: Průběh funkce

#4 04. 11. 2013 14:50

Re: Průběh funkce

#5 04. 11. 2013 22:06

Re: Průběh funkce

jelena napsal(a):

#6 05. 11. 2013 00:35

Re: Průběh funkce

#7 05. 11. 2013 21:39

Re: Průběh funkce

#8 05. 11. 2013 23:25

Re: Průběh funkce

#9 10. 11. 2013 16:26 — Editoval stereo-total-music (15. 11. 2013 16:16)

Re: Průběh funkce

#10 10. 11. 2013 16:51 — Editoval stereo-total-music (13. 11. 2013 22:39)

Re: Průběh funkce

#11 12. 11. 2013 00:00

Re: Průběh funkce

#12 13. 11. 2013 22:27 — Editoval stereo-total-music (13. 11. 2013 22:27) Příspěvek uživatele stereo-total-music byl skryt uživatelem stereo-total-music.

#13 13. 11. 2013 22:37

Re: Průběh funkce

Zápatí