Matematické Fórum

Martin95k

Dobrý den.

Chtěl bych se ze zajímavosti zeptat na trochu netradiční řešení v analytické geometrii.
Nyní probíráme kuželosečky a hledáme tečny grafů kuželoseček v daném bodě. (Hledáme je podle obecných rovnic tečen)

Vzpomněl jsem si, že vlastně derivací se získá tečna. U jednodušších funkcí je to jednoduché (vyjádřím si y, a poté podle y derivuji).
Aplikuji tedy rovnici: $y-y_{0}=f^{,}_{0}(x-x_{0})$
Tyto rovnice, kde se dá vyjádřit y, tedy vycházejí dobře.

Nejde mi ovšem počítat už složitější rovnice jako: $-x^{2}+3y^{2}+6x-6y-9=0$
Bod dotyku: $A[3,2]$
Jak by se tedy prosím podle derivace našla tečna k této rovnice v bodě B?

Děkuji za odpovědi.
Moc mě to zajímá.

Cheop · 05. 11. 2013 14:49 — Editoval Cheop (06. 11. 2013 11:22)

↑ Martin95k:
$-x^{2}+3y^{2}+6x-6y-9=0\\y_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{12x^2-72x+360}}{6}\\y=1+\frac{\sqrt{12}\sqrt{x^2-6x+30}}{6}$ a toto se zderivuje a následně dosadí do vzorce $y-y_{0}=f^\prime_{0}(x-x_{0})$

Honzc · 05. 11. 2013 14:51 — Editoval Honzc (05. 11. 2013 14:53)

↑ Martin95k:
To co píšeš není úpně dobře,
už nemám čas, tak se podívej Sem,př2 a dále

Martin95k · 05. 11. 2013 15:12

Děkuji za návrhy.

Co se týče té parciální derivace, tak to jsme na semináři vůbec nedělali. Takže z toho jsem docela vedle. Ale to co napsal Cheop bych asi zderivoval. Jen nevím, jak se k tomu dostal. Mohl byste mi prosím napsat vzorec? Předpokládám, že to je nějaký vzorec pro výpočet diskriminantu.

Děkuji

Jj · 05. 11. 2013 15:52

↑ Martin95k:

Dobrý den,
řekl bych, že při derivaci implicitně zadané funkce se můžete obejít bez parciálních derivací, pokud vezmete na vědomí, že y je funkcí x (tedy členy s y derivujete podle x tak, že je derivujete podle y a vynásobíte y'), např.:

$x^2+y^2 - 16 = 0$ derivujete podle x takto:
$(x^2+y^2 - 16)' = (x^2)'+(y^2)' - (16)'= 2x+2y\cdot y' - 0 = 0$
a z posledního vztahu vypočítáte y':
$2x+2y\cdot y' = 0 \Rightarrow y' = - \frac{x}{y}$

Podobně u Vaší rovnice:

$(-x^{2}+3y^{2}+6x-6y-9)' = -2x + 3\cdot 2y \cdot y' +6 - 6\cdot y'=0$
Z posledního vztahu opět vypočítáte y', do výsledku dosadíte souřadnice bodu
dotyku [3;2] a obdržíte směrnici $_{y'(x_0,y_0)}$ v bodě dotyku a aplikujete rovnici
$y-y_{0}=y'(x_0,y_0)(x-x_{0})$

Martin95k · 05. 11. 2013 16:25

↑ Jj:
Dobrý den. Děkuji za Vaši radu. Postup je jednoduchý a opravdu to vyšlo. Zkusím to aplikovat na další příklady.
Jinak smekám před Vašimi znalostmi, když beru v potas rok absolvování VŠ.

Chtěl bych se tedy ještě někoho zeptat, podle jakého vzorce si Cheop vyjádřil to Y?

Děkuji

Rumburak · 05. 11. 2013 16:43

↑ Martin95k:

Ahoj.

Formálně vzato kolega Cheop vyřešl kvadratickou rovnici s neznámou $y$ v závislosti na parametru $x$
pro případ, kdy je diskriminant nezáporný.

Martin95k · 05. 11. 2013 17:40

↑ Rumburak:
To mě nenapadlo, děkuji, už chápu.

Jj · 05. 11. 2013 17:44

↑ Martin95k:

Ještě drobnost - u diskriminantu zvolil kolega ↑ Cheop: znaménko +, aby
vybral tu větev hyperboly, na níž leží dotykový bod.

Martin95k · 05. 11. 2013 18:10

↑ Jj:
Říkal jsem si, kam se +- podělo. Popřípadě můžu udělat +- a poté provést zkoušku. Díky

Honzc · 06. 11. 2013 11:04

↑ Jj:
Kdyby kolega četl diskuzi v Odkazu, který jsem doporučil, tak byste zjistili, že v příspěvku #7 je popsáno přesně to co jsi napsal. tedy $\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}y'=0$

Matematické Fórum

#1 05. 11. 2013 14:15 — Editoval Martin95k (05. 11. 2013 14:17)

Hledání tečny pomocí derivace

#2 05. 11. 2013 14:49 — Editoval Cheop (06. 11. 2013 11:22)

Re: Hledání tečny pomocí derivace

#3 05. 11. 2013 14:51 — Editoval Honzc (05. 11. 2013 14:53)

Re: Hledání tečny pomocí derivace

#4 05. 11. 2013 15:12

Re: Hledání tečny pomocí derivace

#5 05. 11. 2013 15:52

Re: Hledání tečny pomocí derivace

#6 05. 11. 2013 16:25

Re: Hledání tečny pomocí derivace

#7 05. 11. 2013 16:43

Re: Hledání tečny pomocí derivace

#8 05. 11. 2013 17:40

Re: Hledání tečny pomocí derivace

#9 05. 11. 2013 17:44

Re: Hledání tečny pomocí derivace

#10 05. 11. 2013 18:10

Re: Hledání tečny pomocí derivace

#11 06. 11. 2013 11:04

Re: Hledání tečny pomocí derivace

Zápatí