Matematické Fórum

Borek22 · 07. 11. 2013 16:05

Ahoj, snažím se naučit tuto látku už semestr předem, takže vůbec nevím, oč tu běží. Mohl by mi někdo prosím na následujícím příkladu ukázat jak se taková rovnice řeší? Byl bych moc vděčný.

Vyřešte $x_{n} = x_{n-m}+1$ pro n>m, kde $m \in \mathbb{N}$ je pevné, a počáteční podmínka je $x_{n}=n$ pro $n=1,2,...,m$ .

Rumburak

Ahoj. Tato diferenční rovnice je pro první seznámení s nimi poněkud netriviální.

I. Pro $n=1,2,...,m$ tedy máme $x_{n}=n$ , zde není co řešit.

II. Pro $n > m$ má být $x_{n} = x_{n-m}+1$ , jinak řečeno $x_{m+k} = x_{k}+1$ pro $k \in \mathbb{N}$ .
Tedy speciálně pro $k=1,2,...,m$ :

(0) $x_{k} = k$ ;

(1) $x_{m+k} =x_k + 1 = k + 1$ ;

(2) $x_{2m+k} =x_{m +(m+k)} = x_{m+k} + 1 = (k+1) + 1 = k + 2$ ;

atd.

Vypadá to tak, že pro $p = 0, 1, 2, ...$ , $k=1,2,...,m$ je $x_{pm + k} = k + p$ , což je námět k důkazu úplnou indukcí.

EDIT. Dodatečně upraveno.

Borek22 · 07. 11. 2013 17:44

↑ Rumburak:

Díky.

Matematické Fórum

#1 07. 11. 2013 16:05

Diferenční rovnice

#2 07. 11. 2013 17:23 — Editoval Rumburak (07. 11. 2013 17:37)

Re: Diferenční rovnice

#3 07. 11. 2013 17:44

Re: Diferenční rovnice

Zápatí