Matematické Fórum

Jakub007 · 07. 11. 2013 18:07

Ahojte, potreboval by som poradiť s týmito dvoma príklady, nejak neviem čo s nimi:
$\frac{sinx(1+sinx-cos^{2}x)}{cos^{2}x.(1+sinx)}$
a druhý:
$\frac{1}{1-sinx}-\frac{sinx}{cos^{2}x}-\frac{1}{1+sinx}$
Bol by som naozaj vdačný za pomoc :)

gadgetka · 07. 11. 2013 18:24

$\frac{\sin x(1+\sin x-\cos^{2}x)}{\cos^{2}x.(1+\sin x)}=\frac{\sin x(\sin^2x+\cos^2x+\sin x-\cos^2x)}{\cos^2x(1+\sin x)}=\frac{\sin^2x(\sin x+1)}{\cos^2x(1+\sin x)}=\text{tg}^2 x$

Jakub007 · 07. 11. 2013 18:29

↑ gadgetka:
Ďakujem, tak toto ma naozaj nenapadlo :) a ten druhý príklad?

gadgetka · 07. 11. 2013 18:35

$\frac{1}{1-\sin x}-\frac{\sin x}{\cos^{2}x}-\frac{1}{1+\sin x}=\frac{1+\sin x-1+\sin x}{\underbrace{(1+\sin x)(1-\sin x)}_{\underbrace{1-\sin^2x}_{\cos^2x}}}-\frac{\sin x}{\cos^2x}=\frac{2\sin x-\sin x}{\cos^2x}=\frac{\sin x}{\cos^2x}=\frac{\text{tg}x}{\cos x}$

Jakub007 · 07. 11. 2013 19:08

↑ gadgetka:
veľmi pekne Ďakujem :)

Jakub007 · 07. 11. 2013 22:05

No a ešte by som poprosil o pomoc s týmito dôkazmi:
sin(x+y)*sin(x-y)= $sin^{2}x-sin^{2}y$
cos(x+y)*cos(x-y)= $2cos^{2}x-1$

Jakub007 · 07. 11. 2013 22:17

↑ Jakub007:
ideme mi hlavne o ten druhý príklad, ten prvý sa mi už podarilo dokázať

gadgetka · 07. 11. 2013 22:40

$\sin(x+y)\cdot \sin(x-y)=\sin^{2}x-\sin^{2}y$
$(\sin x\cos y+\cos x\sin y)\cdot (\sin x\cos y-\cos x\sin y)=\sin^{2}x-\sin^{2}y$
$\sin^2 x\cos^2 y-\cos^2 x\sin^2 y=\sin^{2}x-\sin^{2}y$
$(1-\cos^2x)\cos^2y-\cos^2 x(1-\cos^2y)=\sin^{2}x-\sin^{2}y$
$(1-\cos^2x)\cos^2y-\cos^2 x(1-\cos^2y)=\sin^{2}x-\sin^{2}y$
$\cos^2y-\cos^2x\cos^2y-\cos^2 x+\cos^2x\cos^2y=\sin^{2}x-\sin^{2}y$
$\cos^2y-\cos^2 x=\sin^2x-\sin^2y$
$1-\sin^2y-1+\sin^2x = \sin^2x-\sin^2y$
$\sin^2x -\sin^2y= \sin^2x-\sin^2y$

Freedy · 07. 11. 2013 22:41

Netuším jak ti tam vpyadlo to ypsilon, myslím si že na tom to určitě záviset bude.
Jde jen o znalost a následný použití vzorce pro součin kosinů rozdílných argumentů.
Konkretně zde:
$\cos x\cos y=\frac{\cos (x-y)+\cos (x+y)}{2}$
Dosadíš x+y a x-y a dostáváš:
$\cos (x+y)\cos (x-y)=\frac{\cos (2y)+\cos (2x)}{2}$

gadgetka · 07. 11. 2013 22:57

$\cos(x+y)\cos(x-y)=\cos^{2}x+\cos^2y-1$
$(\cos x\cos y-\sin x\sin y)(\cos x\cos y+\sin x\sin y)=\cos^2 x\cos^2 y-\sin^2 x\sin^2 y=$
$=\cos^2 x\cos^2 y-(1-\cos^2x)(1-\cos^2y)=\cos^2 x\cos^2 y-(1-\cos^2y-\cos^2x+\cos^2 x\cos^2 y)=$
$=\cos^2 x\cos^2 y-1+\cos^2y+\cos^2x-\cos^2 x\cos^2 y=\cos^2x+\cos^2y-1$

Freedy · 09. 11. 2013 00:51

↑ gadgetka:
$\frac{\cos (2x)+\cos (2y)}{2}=\frac{2\cos ^2x+2\cos ^2y-2}{2}=\cos ^2x+\cos ^2y-1$
není zde potřeba předvádět složité postupy když je výsledek stejný

gadgetka

To bude asi tím, že nás ve škole vzorec pro násobení neučili a já ho nikde nehledala... vycházím z toho, co mi zůstalo v hlavě a vzorec pro součet v této "verzi" jsem si nevybavila... ;)

Matematické Fórum

#1 07. 11. 2013 18:07

Dvojnásobný argument

#2 07. 11. 2013 18:24

Re: Dvojnásobný argument

#3 07. 11. 2013 18:29

Re: Dvojnásobný argument

#4 07. 11. 2013 18:35

Re: Dvojnásobný argument

#5 07. 11. 2013 19:08

Re: Dvojnásobný argument

#6 07. 11. 2013 22:05

Re: Dvojnásobný argument

#7 07. 11. 2013 22:17

Re: Dvojnásobný argument

#8 07. 11. 2013 22:40

Re: Dvojnásobný argument

#9 07. 11. 2013 22:41

Re: Dvojnásobný argument

#10 07. 11. 2013 22:57

Re: Dvojnásobný argument

#11 09. 11. 2013 00:51

Re: Dvojnásobný argument

#12 09. 11. 2013 00:59 — Editoval gadgetka (09. 11. 2013 01:23)

Re: Dvojnásobný argument

Zápatí