Matematické Fórum

Kowe · 07. 11. 2013 13:50 — Editoval Kowe (07. 11. 2013 15:46)

Dobrý den,

potřeboval bych pomoct s limitou. Postupuji podle Limuty vedoucí po úpravě na LHospital. pravidlo, ale vždy se do toho nějak zamotám.

$lim_{x->\infty }\ x^{2}*\ln cos \frac{\pi }{x}=$

bismarck · 07. 11. 2013 15:06

↑ Kowe:

$\lim_{x\to\infty }x^{2}\cdot ln(cos(\frac{\pi}{x}))=\lim_{x\to\infty }\frac{ ln(cos(\frac{\pi}{x}))}{\frac{1}{x^{2}}}=$ použijete L´Hospitalove pravidla

$=\lim_{x\to\infty }\frac{ \frac{1}{cos(\frac{\pi}{x})}\cdot (-sin(\frac{\pi}{x}))\cdot (\frac{-\pi}{x^{2}})}{-\frac{2}{x^{3}}}=\lim_{x\to\infty }\frac{ tan(\frac{\pi}{x})\cdot \pi}{\frac{-2}{x}}=$ použijete L´Hospitalove pravidla

$=\lim_{x\to\infty }\frac{\frac{1}{ cos^{2}(\frac{\pi}{x})}\cdot \pi\cdot (\frac{-\pi}{x^{2}})}{\frac{2}{x^{2}}}=\lim_{x\to\infty }-\frac{\pi^{2}}{2}\cdot \frac{1}{cos^{2}(\frac{\pi}{2})}=-\frac{\pi^{2}}{2}$

Tomas.P · 08. 11. 2013 16:39

↑ Kowe:
Ahoj, nedá mi to a pro úplnost uvedu výpočet zadané limity bez L'Hospitala použitím tabulkových limit a limity složené fce (viz. rychlokurz):
1. úprava výrazu roznásobením:
$\frac{ln\left[cos\left(\frac{\pi}{x}\right)\right]}{\frac{1}{x^2}}\cdot \frac{cos\left(\frac{\pi}{x}\right)-1}{cos\left(\frac{\pi}{x}\right)-1}\cdot \frac{\pi \cdot x}{\pi \cdot x}$ (platí limita součinu = součin limit)
2. řešení první části limity podle 1. tabulkové limity:
$\lim_{x\to\infty }\frac{ln\left[cos\left(\frac{\pi}{x}\right)\right]}{cos\left(\frac{\pi}{x}\right)-1}\Rightarrow u=cos\left(\frac{\pi}{x}\right),{x\to\infty }, proto:{u\to1}$ a můžeme psát $\lim_{u\to1}\frac{ln(u)}{u-1}=1$
3. řešení druhé části limity podle 5. tabulkové limity:
$\lim_{x\to\infty }\frac{-\pi x\left[1-cos\left(\frac{\pi }{x}\right)\right]}{\frac{\pi }{x}}\Rightarrow v=\frac{\pi }{x}\wedge x=\frac{\pi }{v},{x\to\infty },proto:{v\to0}$ a můžeme psát $\lim_{v\to0}\frac{-\pi ^{2}\left[1-cos(v)\right]}{v^{2}}=\frac{-\pi ^{2}}{2}$ , nakonec $\lim_{x\to\infty }\frac{ln\left[cos\left(\frac{\pi}{x}\right)\right]}{cos\left(\frac{\pi}{x}\right)-1}\cdot \frac{-\pi x\left[1-cos\left(\frac{\pi }{x}\right)\right]}{\frac{\pi }{x}}=1\cdot \left(-\frac{\pi ^{2}}{2}\right)=-\frac{\pi ^{2}}{2}$ .

Matematické Fórum

#1 07. 11. 2013 13:50 — Editoval Kowe (07. 11. 2013 15:46)

výpočet limity

#2 07. 11. 2013 15:06

Re: výpočet limity

#3 08. 11. 2013 16:39

Re: výpočet limity

Zápatí