Matematické Fórum

Pika · 21. 01. 2009 11:22

Ahojte vsichni,

Nevedel by nekdo jak spocitat zadany priklad ?

musixx · 21. 01. 2009 12:15 — Editoval musixx (21. 01. 2009 12:18)

Nejprve si musime vyjadrit polynom $ax^2+bx+c$ jako linearni kombinaci polynomu $x^2+x$ , $x+2$ a $x^2-1$ . Treba takto:
$ax^2+bx+c=A(x^2+x)+B(x+2)+C(x^2-1)=(A+C)x^2+(A+B)x+(2B-C)$ .
Ted porovnanim koeficientu u jednotlivych mocnin vidime, ze
$a=A+C$
$b=A+B$
$c=2B-C$
kde nezname jsou ta velka pismena. To neni ani na napsani do matice, nebot kdyz sectu prvni a posledni, tak mam $a+c=A+2B$ , no a to kdyz odectu od druhe, tak mam $B=a-b+c$ . Pak uz $A=b-B=2b-a-c$ z druhe rovnice a $C=a-A=2a-2b+c$ z prvni rovnice.

Ted vyuzijeme linearity zobrazeni $\mathcal A$ :
${\mathcal A}(ax^2+bx+c)={\mathcal A}((2b-a-c)(x^2+x)+(a-b+c)(x+2)+(2a-2b+c)(x^2-1))=$
$(2b-a-c){\mathcal A}(x^2+x)+(a-b+c){\mathcal A}(x+2)+(2a-2b+c){\mathcal A}(x^2-1)=$
$(2b-a-c)(1,2,0)+(a-b+c)(1,1,2)+(2a-2b+c)(-1,2,3)=(-2a+3b-c,\ 3a-b+c,\ 8a-8b+5c)$ ,
pokud jsem se teda nekde neprepsal. :-)

Pika · 21. 01. 2009 12:38 — Editoval Pika (21. 01. 2009 12:41)

Super, díky, akorát mi není jasný poslední krok

$http://www.matweb.cz/cgi-bin/mimetex.cgi?\opaque{}(2b-a-c)(1,2,0)+(a-b+c)(1,1,2)+(2a-2b+c)(-1,2,3)=(-2a+3b-c,\%203a-b+c,\%208a-8b+5c)$

Jak jsi dostal roznasobil ty vyrazy se souradnicema vektoru ? Muzu ty vyrazy, ktere byly definovat v linerarnim zobrazeni dat do rozsirene matice s tim , ze vpravo budou hodnoty a,b,c a budu eliminovat, abych dostal vlevo inverzni matici a v pravo 2b-a-c apod. ?

musixx · 21. 01. 2009 12:41 — Editoval musixx (21. 01. 2009 12:41)

↑ Pika: "Ty vyrazy", to jsou vlastne cisla (skalary). Umel bys to takto: $6(1,2,3)+7(1,1,2)+8(-1,2,3)$ ? Pokud ano, tak si misto sestky napis 2b-a-c, atd. Jasne?

Pika · 21. 01. 2009 12:58

Vubec mi to nevychazi, tak treba v tom poslednim pripade,

$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=(2a%20-%202b%20%2Bc%20).(-1%2C2%2C3)%3D(-2a%2B2b-c)%2B(4a-4b%2B2c)%2B(6a-6b%2B3c)%3D8a-8b%2B4c%3D2a-2b%2Bc$

musixx · 21. 01. 2009 13:02

↑ Pika: Jak to prosimte scitas? Slozky vektoru musi zustat oddelene. Prvni slozka vysledku je (2b-a-c)*1 + (a-b+c)*1 + (2a-2b+c)*(-1) - proste soucet prvnich slozek. Druha slozka vysledku je (2b-a-c)*2 + (a-b+c)*1 + (2a-2b+c)*2. A treti slozka vysledku analogicky. Uz to chapes?

Kondr · 21. 01. 2009 13:07

Pokud jde o postup přes rozšířené matice: druhá možnost jak postupovat je udělat si rozšířenou matici, nalevo souřadnice vzorů, nalevo obrazů:
1 0 1|1 2 0
0 1 2|1 1 2
1 0 -1|-1 2 3

1 0 1|1 2 0
0 1 2|1 1 2
0 0 -2|-2 0 3

1 0 0|0 2 3/2
0 1 0|-1 1 5
0 0 1|1 0 -3/2

Odtud vidíme, že obraz je tvaru a(0,2,3/2)+b(-1,1,5)+c(1,0,-3/2). Jinak řečeno matice zobrazení je
0 -1 1
2 1 0
3/2 5 -3/2

Pika · 21. 01. 2009 13:43 — Editoval Pika (21. 01. 2009 13:43)

super diky panove uz to chapu

Pika · 21. 01. 2009 13:56

ach jo a kdyz mam treba priklad s kvadratickou rovnici v linearnim zobrazeni ?

Tak to resim podobne?

musixx · 21. 01. 2009 14:42

↑ Pika: Nejde tady o zadnou kvadratickou rovnici, nybrz o polynom z definicniho oboru zadaneho zobrazeni.

Vezmes dva polynomy, treba $a_1x^2+b_1x+c_1$ a $a_2x^2+b_2x+c_2$ a podivas se, jestli je jejich soucet poslan na soucet obrazu jednotlivych polynomu. Pak to stejne proveris pro k-nasobek jednoho polynomu. Pokud ano, tak zobrazeni je linearni.

Jadro jsou vsechny ty polynomy, ktere jsou na nulu. Z teorie vime, ze jadro je podprostor v definicnim oboru. Urcit dimenzi podprostoru je snadne.

Tady jsem Ti popsal naprosto primou metodu. Vsechno se da udelat i jinak, ale predpokladam, ze po tobe se chce tohle.

Pika · 21. 01. 2009 17:40 — Editoval Pika (21. 01. 2009 17:40)

super diky a jak je presne porovnam?

Takze pak akorat z prave strany vytvorim matici, eliminuji, zjistim bazi a dimenzi ?

Kondr · 21. 01. 2009 18:25

Pika napsal(a):
super diky a jak je presne porovnam?

Ověřme A((ax^2+bx+c)+(dx^2+ex+f))=A(ax^2+bx+c)+A(dx^2+ex+f).
Levá strana je
A((a+d)x^2+(b+e)x+(c+f))=(b+e+c+f,-a-d-c-f,a+d+b+e+c+f)
Pravá je
(b+c,-a-c,a+b+c)+(e+f,-d-f,d+e+f)=(b+e+c+f,-a-d-c-f,a+d+b+e+c+f)
Obě strany se rovnají.

Teď musíme ověřit ještě že
A(k(ax^2+bx+c))=kA(ax^2+bx+c)
platí pro libovolné k, což se udělá stejně nudným rozepsáním obou stran.

Pika napsal(a):
Takze pak akorat z prave strany vytvorim matici, eliminuji, zjistim bazi a dimenzi ?

Jo.

Pika · 21. 01. 2009 19:18

ach jo, ta algebra je marna :(

jak muzu sakra dostat na leve strane

(b+e+c+f,-a-d-c-f,a+d+b+e+c+f)

Kdyz vpravo mam predpis kvadraticke rovnice ?

Kondr · 21. 01. 2009 19:40

Jednoduchá rada: ignoruj místo x^2 a x si představuj čárky. Trojčlen ax^2+bx+c je to samé, jako vektor (a,b,c). Když tedy zobrazení A přiřazuje tomuto trojčlenu (b+c,-a-c,a+b+c), pak A je vlastně zobrazení (a,b,c) -> (b+c,-a-c,a+b+c). Protože je to zobrazení z polynomů do trojic čísel, je korektní nalevo psát místo čárek x^2 a x, ale když nad tím uvažuješ, tak to ber fakt jen jako oddělovače.

Matematické Fórum

#1 21. 01. 2009 11:22

algebra - linearni zobrazeni

#2 21. 01. 2009 12:15 — Editoval musixx (21. 01. 2009 12:18)

Re: algebra - linearni zobrazeni

#3 21. 01. 2009 12:38 — Editoval Pika (21. 01. 2009 12:41)

Re: algebra - linearni zobrazeni

#4 21. 01. 2009 12:41 — Editoval musixx (21. 01. 2009 12:41)

Re: algebra - linearni zobrazeni

#5 21. 01. 2009 12:58

Re: algebra - linearni zobrazeni

#6 21. 01. 2009 13:02

Re: algebra - linearni zobrazeni

#7 21. 01. 2009 13:07

Re: algebra - linearni zobrazeni

#8 21. 01. 2009 13:43 — Editoval Pika (21. 01. 2009 13:43)

Re: algebra - linearni zobrazeni

#9 21. 01. 2009 13:56

Re: algebra - linearni zobrazeni

#10 21. 01. 2009 14:42

Re: algebra - linearni zobrazeni

#11 21. 01. 2009 17:40 — Editoval Pika (21. 01. 2009 17:40)

Re: algebra - linearni zobrazeni

#12 21. 01. 2009 18:25

Re: algebra - linearni zobrazeni

Pika napsal(a):

Pika napsal(a):

#13 21. 01. 2009 19:18

Re: algebra - linearni zobrazeni

#14 21. 01. 2009 19:40

Re: algebra - linearni zobrazeni

Zápatí