Matematické Fórum

informatik · 15. 12. 2007 13:34

dobrý den všem,
chtěl jsem se zeptat, když mám kvadratickou formu ve tvaru součinu čtverců, jak poznám zda je daná forma
pozitivně definitní, negativně definitní, semidefinitní,negativně semidefinitní a indefinitní..
je mi jasný že je to podle nějakých znamének ale nevím podle jakých..jestli podle těch co jsou před závorkou nebo těch co jsou v těch závorkách
například jak je to u těchto příkladů?:
$(x_1 + x_2 + x_3)^2$
$(x_1 + 2x_2 - x_3)^2 - (x_2 + x_3)^2$
$(x_1 - x_2 + 2x_3)^2 + (x_2 + x_3)^2 - x_3^2$

Budu moc vděčný pokud mi někdo poradí..díky

informatik · 17. 12. 2007 18:01

zase žádná odpověd?:-( co nás to učí když to nikdo nevi:(

robert.marik

asi podle těch co jsou před závorkama. Existují lineární transformace které z těch forem udělají
po řadě

$y_1^2$

$y_1^2-y_2^2$

$y_1^2+y_2^2-y_3^3$

první je pozitivně definitní, druhé dvě indefinitní.

ale viděl jsem to naposled před deseti roky :)

Kondr · 19. 12. 2007 12:28

Tahle věc se u nás dělá až v lingebře dvojce a já jdu po vánocích dělat zkoušku z jedničky, ale z toho, co je na wiki bych soudil, že první je pozitivně semidefinitní (u prvního kvadrátu má znaménko + a pak jsou tam ještě schované 2 s koeficientem 0).

thriller

robert.marik ma pravdu

Kondr · 19. 12. 2007 19:56

Co se týče indefinitnosti druhých dvou, v tom problém nevidím. Ale že je ta první jen SEMIdefinitní, o tom jsem celkem přesvědčen.
Z Wiki:
Kvadratická forma se signaturou (n, k, z) se nazývá:

* pozitivně definitní, je-li n = z = 0.
* pozitivně semidefinitní, je-li z = 0.
* negativně definitní, je-li n = k = 0.
* negativně semidefinitní, je-li k = 0.
* indefinitní, je-li k, z > 0.

Signatury našich tří forem jsou (chápu-li význam toho slova dobře) po řadě (2,1,0), (1,1,1),(0,2,1)...

robert.marik

Jojo, uteklo mi to , ta prvni je podle mne skutecne pozitivne semidefinitni. stačí vzít x_1=1, x_2=1 a x_3=-2. Kvadratická forma je nula, ale není to nulový vektor.

Omlouvám se za zavádějící informaci, byl to překlep, nebo jsem si to pořádně nezkontroloval :(

A děkuji za upozornění. No dělám si ostudu, měl jsem si vymyslet nějakou přezdívku a ne pravý jméno :(((

Kondr · 19. 12. 2007 22:12

robert.marik napsal(a):
A děkuji za upozornění. No dělám si ostudu, měl jsem si vymyslet nějakou přezdívku a ne pravý jméno :(((

Kdybych se měl kvůli každému svému překlepu na tomto fóru stydět, asi už bych tu moderátora dávno nedělal ;) Jsem rád, že jsi na tuto otázku odpověděl, sám jsem se k tomu nemohl rozhoupat. Jak jsem psal výše - ve škole jsme se k definitnosti nedostali a z toho, co je na wiki, mi to úplně jasné taky nebylo.

informatik · 20. 12. 2007 15:30

Děkuji všem za odpoved..snad jsem to uz pochopil..a snad jsem i pochopil ze se z ty inercie(signatury) da vykoukat zda jsou matice kongruentní a případně i to o jakou kuželosečku či kvadriku se jedná..
fakt nechapu ze to berem tak hodne podrobne v předmětu Lineární algebra 1 v prváku...je toho dost no

Matematické Fórum

#1 15. 12. 2007 13:34

definitnost

#2 17. 12. 2007 18:01

Re: definitnost

#3 17. 12. 2007 18:38 — Editoval robert.marik (17. 12. 2007 18:39)

Re: definitnost

#4 19. 12. 2007 12:28

Re: definitnost

#5 19. 12. 2007 17:27 — Editoval thriller (20. 12. 2007 15:51)

Re: definitnost

#6 19. 12. 2007 19:56

Re: definitnost

#7 19. 12. 2007 21:39 — Editoval robert.marik (19. 12. 2007 21:41)

Re: definitnost

#8 19. 12. 2007 22:12

Re: definitnost

robert.marik napsal(a):

#9 20. 12. 2007 15:30

Re: definitnost

Zápatí