Matematické Fórum

souko · 13. 11. 2013 16:58

Ahoj, potřeboval bych pomoc s jedním příkladem, zadání: Na elipse: $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{36}=1$ najděte bod (souřadnice), jehož vzdálenost od jednoho ohniska elipsy je čtyřikrát větší než od ohniska druhého.
Můj postup:
a=10, b=6, e=8, vzdálenost bodu od ohnisek se musí rovnat 2a a když je od jednoho ohniska 4 krát větší než od druhého, tak 2*a/5=x
(x=vzdálenost od jednoho ohniska)
tedy vím, že od jednoho ohniska je vzdálenost 16 a od druhého 4.
Vím, že by to měli být 4 body.
Jak tedy spočítám kde přesně ty body (stačí jeden) leží?

Díky, souko

Rumburak · 13. 11. 2013 17:25

Ahoj. Tu kratší vzdálenost hledaného bodu $X$ od některého z ohnisek bych označil reději třeba $r$ , symbol $x$ bych si ponechal
pro souřadnici hledaného bodu $X[x, y]$ .

Máme tedy zjištěno, že $r = \frac {2a}{5}$ . Takže bod $X$ leží na zadané elipse a zároveň na některé z kružnic $k(F, r) , k(G, r)$ ,
kde $F, G$ jsou ohniska elipsy. Pro každou z těchto kružnic dostaneme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých (rovnice elipsy
spolu s rovnicí kružnice) , ktará eliminací členu $y^2$ půjde převést na kvadratickou rovnici s neznámou $x$ .

souko · 13. 11. 2013 19:31

Ještě dosazení pls, mně to nějak nevychází. Díky

Cheop · 14. 11. 2013 07:47 — Editoval Cheop (14. 11. 2013 07:47)

↑ souko:
Řešíme:
1)
$16(x+8)^2+16y^2=(x-8)^2+y^2\\9x^2+25y^2=900$
2)
$(x+8)^2+y^2=16(x-8)^2+16y^2\\9x^2+25y^2=900$

Dostaneme tak 4 body:
$X_1=\left(-7.5;\,\frac{3\sqrt 7}{2}\right)\\X_2=\left(-7.5;\,-\frac{3\sqrt 7}{2}\right)\\X_3=\left(7.5;\,\frac{3\sqrt 7}{2}\right)\\X_4=\left(7.5;\,-\frac{3\sqrt 7}{2}\right)$

Rumburak · 14. 11. 2013 10:10

↑ souko:

Elipsa o rovnici $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{36}=1$ má polosy délek $a = 10$ a $b = 6$ , tudíž excentricitu $e = 8$ .

Ohnisky jsou body $F[-8, 0] , G[8, 0]$ , rovnicemi kružnic $k(F, r) , k(G, r)$ jsou po řadě

$(x+8)^2 + y^2 = r^2 , (x-8)^2 + y^2 = r^2$ ,

kde $r = \frac {2a}{5} =4$ . Řešíme tedy postupně soustavy

I. $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{36}=1 , (x+8)^2 + y^2 = 16$ ,

II. $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{36}=1 , (x-8)^2 + y^2 = 16$ ,

což mi připadá početně poněkud méně náročné, něž postup (rovněž správný), který navrhl kolega ↑ Cheop:.