Matematické Fórum

breta21 · 14. 11. 2013 16:18

dobrý den, mohu se zeptat, jak by se rešily tyto 2 priklady ?

$\lim_{n\to\infty } (3,6n*n-4.2n^{5} a \lim_{n\to\infty } (sqrt(n+2)/(n*sqrt(n+1))$

jedno mi vyšlo neco /0 a to druhe neko/neko

bejf · 14. 11. 2013 18:25

↑ breta21:
Ahoj.

S dovolením to přepíšu. Bude se na to lépe koukat.

$\lim_{n\to\infty}(3,6n^2-4,2n^5)$
$\lim_{n\to\infty}$\frac{\sqrt{n+2}}{n\sqrt{n+1}}$$

Mám to dobře?

breta21 · 14. 11. 2013 21:05

↑ bejf: jj :)

bejf · 14. 11. 2013 22:06 — Editoval bejf (14. 11. 2013 22:07)

↑ breta21:
Super. :)

Takže první limita:

Dosadím nekonečno za n. Vyjde mi limita $\infty - \infty$ což je jaksi neurčitý výraz. Když zkusím vytknout nejvyšší mocninu, dostanu takovouhle limitu:
$\lim_{n\to\infty}n^5$\frac{3,6}{n^3}-4,2$$
Znovu si dosadím nekonečno.
Nejprve v závorce - 3,6 je poměrně malé číslo, a když ho vydělím obrovským číslem, vyjde mi malé číslo, čili $\frac{3,6}{\infty^3}$ jde k nule (limitně se k ní blíží), takže to bude $(0-4,2)=-4,2$ ta závorka.
Pak $\infty . (-4,2) = -\infty$ .
Takže $\lim_{n\to\infty}$3,6n^2-4,2n^5$=-\infty$ .

Druhá limita:

Dosadím nekonečno za n. Tady vychází limita typu $\frac{\infty}{\infty}$ . Udělám úpravy:
$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n+2}}{n\sqrt{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n^2(n+1)}}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n+2}{n^2(n+1)}}$

Teď když počítám limitu z odmocniny, můžu si klidně tu odmocninu vyhodit před limitu a počítat toto:
$\sqrt{\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n^2(n+1)}}$

Takže pro větší přehlednost si odmocninu na chvilku odstraníme, ale nesmíme zapomenout se k ní vrátit.
$\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n^2(n+1)}$

Teď si ve jmenovateli roznásobím závorku.
$\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n^3+n}$

Pořád mám typ $\frac{\infty}{\infty}$ . Vytýkám nejvyšší mocninu.
$\lim_{n\to\infty}\frac{n(1+\frac{2}{n})}{n^3(1+\frac{n}{n^3})}$

Teď se mi zkrátí n-ka a budu mít:
$\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{2}{n}}{n^2(1+\frac{n}{n^3})}$

Můžu dosazovat nekonečno. V čitateli jde $2/n$ k nule, nahoře zbyde jednička. Ve jmenovateli jde $n/n^3$ též k nule a ještě dosazuji nekonečno do $n^2$ . Ve jmenovateli tedy vyjde nekonečno a celý zlomek je $\frac{1}{\infty}$ což se rovná nule.

Vrátím se k odmocnině. Odmocnina z nuly je nula. Nula je výsledek té druhé limity.

Matematické Fórum

#1 14. 11. 2013 16:18

limity posloupnosti

#2 14. 11. 2013 18:25

Re: limity posloupnosti

#3 14. 11. 2013 21:05

Re: limity posloupnosti

#4 14. 11. 2013 22:06 — Editoval bejf (14. 11. 2013 22:07)

Re: limity posloupnosti

Zápatí