Matematické Fórum

Jack620 · 14. 11. 2013 22:08

Dobrý den, mohl bych poprosit řešení těchto příkladů s postupem?

$\lim_{x\to\Pi }\frac{4+2\text{cotg}x-2\text{cotg}^{2}x}{\text{cotg}^{2}x-1}$
$\lim_{x\to\frac{\Pi }{6}}\frac{2\sin ^{2}x-\cos 2x}{\sqrt{2sinx}-1}$
$\lim_{x\to2}\frac{x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-5x+2}{x-2}$

Děkuji mnohokrát!

bejf · 14. 11. 2013 22:14

↑ Jack620:
Ahoj.

V první limitě využij toho, že $cotgx=\frac{cosx}{sinx}$ a pak pravděpodobně i některých goniometrických vzorců.
Ve druhé limitě taky využij goniometrických vzorců a v poslední limitě bych to viděl na vytýkání nejvyšší mocniny. :)

Freedy · 14. 11. 2013 22:20

2)
$\lim_{x\to\frac{\pi }{6}}\frac{2\sin ^2x-\cos 2x}{\sqrt{2\sin x}-1}=\lim_{x\to\frac{\pi }{6}}\frac{2\sin ^2x-\cos ^2x+\sin ^2x}{\sqrt{2\sin x}-1}=\lim_{x\to\frac{\pi }{6}}\frac{4\sin ^2x-1}{\sqrt{2\sin x}-1}$
a teď pouze jednoduché rozložení na součin:
$\lim_{x\to\frac{\pi }{6}}\frac{(\sqrt{2\sin x}-1)(\sqrt{2\sin x}+1)(2\sin x+1)}{\sqrt{2\sin x}-1}=\lim_{x\to\frac{\pi }{6}}(\sqrt{2\sin x}+1)(2\sin x+1) = 4$

Jack620 · 14. 11. 2013 22:21

Mohu poprosit o názorné spočítání jednoho příkladu? Děkuji

bejf · 14. 11. 2013 22:22

↑ Jack620:
A kterého?

Jack620 · 14. 11. 2013 22:53

1)

bejf · 14. 11. 2013 23:25

↑ Jack620:
Ok.
$\lim_{x\to\pi }\frac{4+2\text{cotg}x-2\text{cotg}^{2}x}{\text{cotg}^{2}x-1}$
$\lim_{x\to\pi}\frac{4+2\frac{\cos x}{\sin x}-2\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}}{\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}-1}$
$\lim_{x\to\pi}\frac{\frac{4\sin^2 x+2\cos x\sin x - 2\cos^2 x}{\color{red}\sin^2 x\color{black}}}{\frac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\color{red}\sin^2 x\color{black}}}$ Vyznačené $\sin^2 x$ se zkrátí
$\lim_{x\to\pi}\frac{4(1-\cos^2 x)+2\cos x \sin x -2\cos^2 x}{\cos^2 x - (1-\cos^2 x)}$
$\lim_{x\to\pi}\frac{4-4\cos^2 x+2\cos x\sin x-2\cos^2 x}{2\cos^2 x - 1}$
$\lim_{x\to\pi}\frac{-6\cos^2 x + 2\cos x\sin x +4}{2\cos^2 x - 1}$
Víc s tím už nenadělám. Tak dosazuji $\pi$ . Víme, že $\cos \pi = -1 \Rightarrow \cos^2 \pi = 1$ a $\sin \pi = 0$ :
$\lim_{x\to\pi}\frac{-6.1+2.1.0+4}{2.1-1}=-2$