Matematické Fórum

milwoukee · 14. 11. 2013 22:56

Ahoj, pozreli by ste mi tento priklad a pripadne povedali kde mam chybu?
Vychadza mi to viac menej spravne, len znamienko naopak.

Spoctete integral:
$\int_{}^{}\int_{}^{} xy^2dx dy$
kde S je plocha v 1. kvadrantu ohranicena grafy funkcii:
$y=x$ a $y=x^2$

Nakreslim si teda obrazok plochy S:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-11/65175_plot.PNG

A idem si zhotovit integral a zistit medze tychto integralov:

Ked chcem vnutorny integral, tak sa musim pozriet na x. Z obrazka mi vychadza ze medze integralu dx by mali byt 0 a 1. Ok.
Co sa tyka integralu vonkajsieho, a teda dy, pozriem si funkcie. To teda budu y=x a y=x^2 a teda integral ma vyzerat takto:
$\int_{x^2}^{x}\int_{0}^{1} xy^2dx dy$

Co nejde vycislit. Tak teda si chcem zamenit integracie.

Idem na to takto: nemusim predsa menit poradie, pozriem na obrazok a viem ze pre vnutorny integral mozu byt medze vlastne funkcie X cize $x=y$ a $x=\sqrt(y)$ a vonkajsi integral dy bude vlastne len od 0 do 1 takze vysledny integral mi vychadza:
$\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{y}}^{y} xy^2dx dy$

Avsak to po vycisleni vychadza -1/40. Kde mam chybu prosim? Ma to byt 1/40.

Stýv · 14. 11. 2013 23:03

máš obráceně meze pro $x$ , jelikož pro $y\in(0,1)$ je $y<\sqrt{y}$

kaja.marik

$\int_{x^2}^{x}\int_{0}^{1} xy^2dx dy=-\frac 16 x^6 +\frac 16 x^3$

Vycislit to pochpitelne jde, ale tento dvojnasobny integral nijak nesouvisi s dvojnym integralem v zadani.

$\int_{0}^{1} \int_{x^2}^{x}xy^2 dydx=\frac 1{40}$

milwoukee · 14. 11. 2013 23:45

↑ kaja.marik:
A mohli by ste mi este vysvetlit prosim aky v tom je rozdiel? Ja na to idem vzdy tak, ze sa proste pozriem na graf a podla toho ci dam vnutro dy alebo dx tak si pozriem od kial pokial je jedna z premennych a druhu skusim opisat funkciou. Ale zjavne mi nieco nedochadza.

kaja.marik

Rozdil mezi cim ? Chyba je v te uvaze na zacatku. Nejdriv stanovuji meze pro vnejsi integral.

Rumburak · 15. 11. 2013 09:44

↑ milwoukee:

Ahoj. Základem je (třeba pomocí obrázku) popsat analyticky tu možinu $S$ :

$S = \{[x, y] ; 0 < x < 1 \wedge x^2 < y < x \}$ ,

aternativně

$S = \{[x, y] ; 0 < y < 1 \wedge y < x < \sqrt{y} \}$ .

odtud by měl být způsob použití Fubiniovy věty jasný.

První vyjádření vede na $\int_0^1 \int_{x^2}^x xy^2 \mathrm{d}y \mathrm{d}x$ , druhé na $\int_{0}^{1}\int_y^{\sqrt{y}} xy^2 \mathrm{d}x \mathrm{d}y$ . ,

Matematické Fórum

#1 14. 11. 2013 22:56

Integraly: naopak znamienko

#2 14. 11. 2013 23:03

Re: Integraly: naopak znamienko

#3 14. 11. 2013 23:39 — Editoval kaja.marik (14. 11. 2013 23:41)

Re: Integraly: naopak znamienko

#4 14. 11. 2013 23:45

Re: Integraly: naopak znamienko

#5 15. 11. 2013 00:11 — Editoval kaja.marik (15. 11. 2013 00:12)

Re: Integraly: naopak znamienko

#6 15. 11. 2013 09:44

Re: Integraly: naopak znamienko

Zápatí