Matematické Fórum

Fobl · 14. 11. 2013 17:43

Dobrý den.
Mám příklad.
Určete rovnici roviny $\varrho$ , která leží ve svazku rovin určeného rovinami $\alpha _{1}:$ $2x+4y-5z=0$ a $\alpha _{2}:$ $4x -6y+5z+5=0$ a je rovnoběžná s přímkou $p:$ $X=[5,6,-12]+t(1,-1,-1)$ .
Řešil jsem to takto, ale zřejmě to nebude zcela správně:
$\alpha _{1}(2x+4y-5z)+\alpha _{2}(4x-6y+5z+5)=0$
$(2\alpha _{1}+4\alpha _{2})x+(4\alpha _{1}-6\alpha _{2})y+(-5\alpha _{1}+5\alpha _{2})z+5\alpha _{2}=0$
$10\alpha _{1}+20\alpha _{2}+24\alpha _{1}-36\alpha _{2}+60\alpha _{1}-60\alpha _{2}+5\alpha _{2}=0$
$94\alpha _{1}-71\alpha _{2}=0$
volíme
$\alpha _{1}=71\Rightarrow \alpha _{2}=94$
$p:$ $518x-280y+115z+470=0$
Teď si kladu otázku, co s tím, když tam je za $X=[5,6,-12]$ ještě $+t*(1,-1,-1)$ .

Jj · 14. 11. 2013 18:51

↑ Fobl:

Dobrý večer, řekl bych, že výpočet není v pořádku.

Ze svazku rovin máte vybrat rovinu rovnoběžnou s přímkou p. To znamená vybrat rovinu, jejíž
normálový vektor je kolmý na směrový vektor přímky p. Čili podmínku pro určení konstant alfa1,
alfa2 stanovíte tak, že skalární součin normálového vektoru roviny a směrového vektoru přímky
položíte = 0.

Fobl · 14. 11. 2013 19:32 — Editoval Fobl (14. 11. 2013 19:33)

Teď moc nechápu, jak jste to myslel. Mám v tom docela hokej. Mohl byste mi prosím naznačit, jak by se to mělo začít řešit. Mělo by to vypadat takto?
$4x -6y+5z+5=0$
$2x+4y-5z=0$
ale potom bych si kladl otázku, co s přímkou $p:$ $X=[5,6,-12]+t(1,-1,-1)$ .

Jj · 15. 11. 2013 19:37

↑ Fobl:

Jak jsem uvedl - ze svazku rovin máme vybrat rovinu $_{\varrho }$ , jejíž normálový vektor
je kolmý na směrový vektor přímky p. Vycházejme ze stavu Vašeho výpočtu roviny $_{\varrho }$ :

$(2\alpha _{1}+4\alpha _{2})x+(4\alpha _{1}-6\alpha _{2})y+(-5\alpha _{1}+5\alpha _{2})z+5\alpha _{2}=0$

Koeficienty u x, y, z v této rovnici roviny jsou úměrné složkám jejího normálového vektoru $_{\vec{n}}$ .

Z rovnice přímky $_{p: X=[5,6,-12]+t(1,-1,-1)}$ určíte složky jejího směrového vektoru 'v' = (1,-1,-1).
Má-li být rovina $_{\varrho }$ rovnoběžná s přímkou p, pak skalární součin $_{\vec{n}*\vec{v} = 0}$ , čili:

$(2\alpha _{1}+4\alpha _{2})\cdot (1) + (4\alpha _{1}-6\alpha _{2})\cdot (-1) + (-5\alpha _{1}+5\alpha _{2})\cdot (-1)=0\Rightarrow$
$\Rightarrow 3\alpha _{1}+5\alpha _{2}=0$ , takže např. $\alpha _{1}=5, \alpha _{2}=-3$ , a rovnice roviny $_{\varrho }$
(pokud jsem se nespletl) vychází 2x - 38y + 40z + 15 = 0.

Fobl · 15. 11. 2013 20:15

Dobrý den.
Zdá se mi, že je tam překlep ve výrazu: $(2\alpha _{1}+4\alpha _{2})\cdot (1) + (4\alpha _{1}-6\alpha _{2})\cdot (-1) + (-5\alpha _{1}+5\alpha _{2})\cdot (-1)=0\Rightarrow$ chybí přičíst výraz: $5\alpha _{2}$ , číž mi vyšlo: $\alpha _{1}=10\Rightarrow \alpha _{2}=-3$ a výsledná rovnice mi vyšla $8x+58y-65z-15=0$ .

Jj · 15. 11. 2013 20:21

↑ Fobl:

Nic tam nechybí. Píšu, že se jedná o koeficienty u proměnných x, y a z. Vždyť s ohledem na definici skalárního součinu ani není proč a kam nějaký výraz přičítat.

Fobl · 15. 11. 2013 20:49 — Editoval Fobl (15. 11. 2013 20:51)

Dobrý den.
Myslel jsem si, že do této rovnice dosadíme složky směrového vektroru (1,-1,-1) $(2\alpha _{1}+4\alpha _{2})x+(4\alpha _{1}-6\alpha _{2})y+(-5\alpha _{1}+5\alpha _{2})z+5\alpha _{2}=0$ a po té nám vyjde $(2\alpha _{1}+4\alpha _{2})\cdot (1) + (4\alpha _{1}-6\alpha _{2})\cdot (-1) + (-5\alpha _{1}+5\alpha _{2})\cdot (-1)+5\alpha_{2} =0\Rightarrow$ , jelikož když koukám do skript, tak jsem to měl uvedené tak u jiných příkladů, že jsem si za x,y,z dosadil a všechny ostatní výrazy v takovéto rovnici $(2\alpha _{1}+4\alpha _{2})x+(4\alpha _{1}-6\alpha _{2})y+(-5\alpha _{1}+5\alpha _{2})z+5\alpha _{2}=0$ zůstaly, čímž mi vyšlo: $\3\alpha _{1}+10\alpha _{2}=0$ $\alpha _{1}=10\Rightarrow \alpha _{2}=-3$ a výsledná rovnice mi vyšla $8x+58y-65z-15=0$ .

Jj · 16. 11. 2013 09:24 — Editoval Jj (16. 11. 2013 09:47)

↑ Fobl:

Ne, nejde o dosazování složek směrového vektoru přímky do hledané rovnice, takto by vyšel nesmysl.

Normálový vektor roviny (jehož složky jsou úměrné koeficientům rovnice u promměnných x, y a z) musí
vyhovovat podmínce nulového skalárního součinu se směrovým vektorem přímky p, pak bude hledaná
rovina s touto přímkou rovnoběžná.

Konec konců, co Vám brání ověřit si, které řešení roviny je rovnoběžné se zadanou přímkou?

Fobl · 17. 11. 2013 13:08 — Editoval Fobl (17. 11. 2013 13:28)

Dobrý den.
Vaše řešení bylo správné. Tj. 2x-38y+40z+15=0. Zde se neuvažuje absolutní člen $5\alpha _{2}$ , což jste tak použil.

Jenom k té vaší větě, pokud se tedy nemýlím, bych dodal, že jste se nemýlil.

Matematické Fórum

#1 14. 11. 2013 17:43

Určení rovnice roviny

#2 14. 11. 2013 18:51

Re: Určení rovnice roviny

#3 14. 11. 2013 19:32 — Editoval Fobl (14. 11. 2013 19:33)

Re: Určení rovnice roviny

#4 15. 11. 2013 19:37

Re: Určení rovnice roviny

#5 15. 11. 2013 20:15

Re: Určení rovnice roviny

#6 15. 11. 2013 20:21

Re: Určení rovnice roviny

#7 15. 11. 2013 20:49 — Editoval Fobl (15. 11. 2013 20:51)

Re: Určení rovnice roviny

#8 16. 11. 2013 09:24 — Editoval Jj (16. 11. 2013 09:47)

Re: Určení rovnice roviny

#9 17. 11. 2013 13:08 — Editoval Fobl (17. 11. 2013 13:28)

Re: Určení rovnice roviny

Zápatí