Matematické Fórum

Palmicka

potřebovala bych poradit s limita pro x se blíží k nekonečnu z výrazu: (n+4/n)^n-3 ?
je správně výsledek 4e? nebo to je e^4?
díky za odpověď..

lukaszh

↑ Palmicka:
Tvoj výraz v TeX-u musíš umiestniť medzi tagy [tex] sem [tex]
Správne má byť e^4

Palmicka · 21. 01. 2009 19:54

↑ lukaszh:
raději takhle..snad to je pochopitelne:)

Palmicka

↑ lukaszh:
vím, že musím postupovat podle vzorce, jen mi tam nesedí to n+4/n...ta čtyřka...mam jí vynásobit celý výraz a pak jí dát do exponentu?

lukaszh · 21. 01. 2009 21:00

↑ Palmicka:
Prečo postupovať podľa konvečných vzorcov, keď sa dá obísť aj bez nich a bez pomýlenia pri dosadzovaní? Ja doteraz neviem ani jeden vzorec pre výpočet takýchto limít, veď postup je celkom jednoduchý:
Potrebuješ limitu upraviť na tvar
$\lim_{t\to\infty}$1+\frac{1}{t}$^t$
Vezmem tvoju zo zadania aj jednoduchými aritmetickými "cvikmi" to do tej podoby dostanem:
$\lim_{n\to\infty}$\frac{n+4}{n}$^{n-3}=\lim_{n\to\infty}$\frac{n}{n}+\frac{4}{n}$^{n-3}=\lim_{n\to\infty}$1+\frac{4}{n}$^{n-3}=\;\cdots$
Teraz zavediem substitúciu
$\frac{4}{n}=\frac{1}{t}$
Odtiaľ zistím k čomu sa blíži t. Keď n ide do nekonečna, tak z rovnosti vyplýva, že aj t ide do nekonečna. Dopočítam n a dosadím do exponentu:
$n=4t$
$\cdots\;=\lim_{t\to\infty}$1+\frac{1}{t}$^{4t-3}=\lim_{t\to\infty}\frac{$1+\frac{1}{t}$^{4t}}{$1+\frac{1}{t}$^3}=\frac{\lim_{t\to\infty}$1+\frac{1}{t}$^{4t}}{\lim_{t\to\infty}$1+\frac{1}{t}$^3}=\frac{\text{e}^4}{1}=\boxed{\text{e}^4}$