Matematické Fórum

simushka8 · 16. 11. 2013 21:10

Prosím jak vyřešit tento příklad
$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-cos5x}}{x}$
děkuji

jelena · 16. 11. 2013 23:14 — Editoval jelena (17. 11. 2013 10:38)

Téma jsem již otevřela,

zde je jedna z možností (poslat x v jmenovateli pod odmocninu - to nebude dobré, zapomene se na absolutní hodnotu) a opět rozšiřovat zlomek (pod odmocninou) ve stejném směru.

EDIT: nebudu posílat x pod odmocninu, jen rozšířím pod odmocninou zlomek $\sqrt{\frac{1-\cos (5x)}{1}}$

Freedy · 17. 11. 2013 00:24 — Editoval Freedy (17. 11. 2013 00:25)

co třeba takhle?
$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-cos5x}}{x}$
$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-\cos 5x}}{x}\cdot\frac{20}{20}=20\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-\cos 5x}}{20x}$
$5x=a$
$20\lim_{a\to0}\frac{\sqrt{1-\cos a}}{4a}=20\lim_{a\to0}(\frac{\sin \frac{a}{2}}{a})$
a=2b
$20\lim_{b\to0}\frac{\sin b}{2b}=10\lim_{b\to0}\frac{\sin b}{b}=10$

:D vzhledem k tomu, že podle wolframu to tak nevyjde, navíc dokonce že ta limita ani neexistuje (oboustranná), tak si myslím že sem asi někde udělal chybu

jelena · 17. 11. 2013 00:41

↑ Freedy:

Zdravím,

řekla bych, že jsi trochu překombinoval (můžeš zůstat u 5x, potom poloviční je 2,5x), ale podstatnější bude, že odmocňuješ bez úvahy o znaménku sin zleva a zprava od 0.

Freedy · 17. 11. 2013 00:57

$20\lim_{a\to0}\underbrace{\frac{\sqrt{1-\cos a}}{4}}_{\sin \frac{a}{2}}\cdot\frac{1}{a}$

ttt_ · 17. 11. 2013 01:37

$\sqrt{1-\cos x}=\sqrt{\sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}-\cos^2 \frac{x}{2}+\sin^2 \frac{x}{2}}=\sqrt{2\sin^2 \frac{x}{2}}=\sqrt 2 \sin \frac{x}{2}$
Kde mate $\sqrt{2}$ ? alebo ja to robim zle?

Freedy · 17. 11. 2013 10:32

Úplně blbá chyba. Opravuju svůj postup:
$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-\cos 5x}}{x}\cdot\frac{5\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-\cos 5x}}{5\sqrt{2}x}$
5x = a
$5\sqrt{2}\cdot\lim_{a\to0}\frac{\sqrt{1-\cos a}}{\sqrt{2}a}=5\sqrt{2}\cdot\lim_{a\to0}\frac{\sin \frac{a}{2}}{a}$
a = 2b
$5\sqrt{2}\cdot\lim_{b\to0}\frac{\sin b}{2b}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot\lim_{b\to0}\frac{\sin b}{b}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$

jelena · 17. 11. 2013 10:43

↑ ttt_:, ↑ Freedy:

Zdravím oba,

oba nemáte absolutní hodnotu ↑ příspěvek 5:, ale také jsem opravila svůj návrh o poslání x pod odmocninu, protože tak bych také zapomněla uvažovat různé znaménko sin(x) nalevo a napravo od 0. Zbytek o rozšíření platí.

↑ Freedy:

pořád si myslím, že více takových substituci vede ke zbytečnému přehlédnutí (a je až moc podezřele, jak hned pracuješ s $5\sqrt{2}$ ) odkud jsi to uviděl hned na začátku úpravy? Děkuji.

Freedy · 17. 11. 2013 10:48

Pracuju s tím proto protože je tam cos(5x) = proto pětka
a protože chci mít dole odmocninu ze dvou, abych mohl použít vzorec:
$\sin \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}=\frac{\sqrt{1-\cos x}}{\sqrt{2}}$

jelena · 17. 11. 2013 10:50

↑ Freedy:

nevěřím :-) Uvidíš, že bez těchto substituci nevznikne zdroj drobných přehlédnutí.

Freedy · 17. 11. 2013 10:53

Tak dal sem tam nejdřív 20 jenže sem si neuvědomil že:
$\frac{\sqrt{1-\cos x}}{4}\not =\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$
Nevidím na tom nic zázračného že mě to dopadlo. Samozřejmě že sinus je nalevo a napravo od nuly s rozdílným znaménkem, takže by to chtělo asi nějak ošetřit tou absolutní hodnotou. Ono ve výsledku vyjde 5odmocnin ze dvou / 2 jenže + a -. Takže ta absolutní hodnota by se tam asi hodila

jelena · 17. 11. 2013 11:01

↑ Freedy:

já na tom ani nic zázračného nevidím, jen mi to příliš připomíná výsledek z WA, tak to vypadá jako cílená cesta.
Absolutní hodnota je ze vzorce pro poloviční úhel (já při své úpravě také nesmím zapomenout na absolutní hodnotu, protože budu odmocňovat. ale moje původní úprava poslat x pod odmocninu by tento moment skryla z pozornosti, což není OK).

Existuje takový nástroj FMEA a ten říká, jak máme uvažovat příčiny a následky poruch (a opakuji - zde více substitucí je zdroj problémů). Ale horší zdroj je opomenutí absolutní hodnoty.

Freedy · 17. 11. 2013 11:03

Kdybych se na ten podíval nebo nepodíval, úvahu sem měl od začátku jasnou, použít vzorec na sin x/2. Jen si prostě myslím že 4 je odmocnina ze dvou a to je špatný.

jelena · 17. 11. 2013 11:23

↑ Freedy:

OK, proto minimum použití substituce. A hlavně - tu absolutní hodnotu.

vanok · 17. 11. 2013 11:44

Poznamka: Najprv je trochu divine ze ↑ simushka8: nevyjadril nic o tom ako sa pokusil dostat k vysledku ...
Navrhuta metoda kolegamy pochopitelne vedie k vysledku, ak pouziju poznamky co im dala kolegina Jelena.
Inac trochu rychlejsia cesta k vysledku moze pouzit toto
$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-cos(5x)}}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-cos(5x)}}{x}\cdot \frac {\sqrt{1+cos(5x)}}{\sqrt{1+cos(5x)}}=...$
No vsak ani tu sa nesme ignorovat , ze $\sqrt {x^2}=|x|$ pre kazde realne $x$ ako to vyjadrila kolegina Jelena ( ktoru pozdravujem).

jarrro · 17. 11. 2013 11:56

problémy s absolútnou hodnotou odpadnú keď si človek uvedomí, že
$\lim_{x\to0^{-}}{\frac{\sqrt{1-\cos{5x}}}{x}}=-\lim_{x\to0^{+}}{\frac{\sqrt{1-\cos{5x}}}{x}}$
čiže stačí uvažovať limitu sprava teda kladné x

vanok · 17. 11. 2013 12:16

Ahoj ↑ jarrro:,
Odpadnu, lebo tvoj zapis vyuzil presne jej definiciu.

jarrro · 17. 11. 2013 12:26 — Editoval jarrro (17. 11. 2013 12:27)

↑ vanok:neviem či som tam využil práve definíciu absolútnej hodnoty
skôr párnosť kosínusu a spojitú substitúciu resp. nepárnosť celej zlomkovej funkcie

vanok · 17. 11. 2013 12:39

Alebo mozes argumentovat aj takto : akoze $\sqrt{1-\cos{5x}}\ge 0$ preto
$\frac {\sqrt{1-\cos{5x}}}{x}$ ma to iste znamienko ako $x$ .

Matematické Fórum

#1 16. 11. 2013 21:10

limity goniometrických funkcí

#2 16. 11. 2013 21:12 Příspěvek uživatele jelena byl skryt uživatelem jelena. Důvod: téma je již otevřeno

#3 16. 11. 2013 23:14 — Editoval jelena (17. 11. 2013 10:38)

Re: limity goniometrických funkcí

#4 17. 11. 2013 00:24 — Editoval Freedy (17. 11. 2013 00:25)

Re: limity goniometrických funkcí

#5 17. 11. 2013 00:41

Re: limity goniometrických funkcí

#6 17. 11. 2013 00:57

Re: limity goniometrických funkcí

#7 17. 11. 2013 01:37

Re: limity goniometrických funkcí

#8 17. 11. 2013 10:32

Re: limity goniometrických funkcí

#9 17. 11. 2013 10:32 Příspěvek uživatele Freedy byl skryt uživatelem Freedy. Důvod: duplicita příspěvku

#10 17. 11. 2013 10:43

Re: limity goniometrických funkcí

#11 17. 11. 2013 10:48

Re: limity goniometrických funkcí

#12 17. 11. 2013 10:50

Re: limity goniometrických funkcí

#13 17. 11. 2013 10:53

Re: limity goniometrických funkcí

#14 17. 11. 2013 11:01

Re: limity goniometrických funkcí

#15 17. 11. 2013 11:03

Re: limity goniometrických funkcí

#16 17. 11. 2013 11:23

Re: limity goniometrických funkcí

#17 17. 11. 2013 11:44

Re: limity goniometrických funkcí

#18 17. 11. 2013 11:56

Re: limity goniometrických funkcí

#19 17. 11. 2013 12:16

Re: limity goniometrických funkcí

#20 17. 11. 2013 12:26 — Editoval jarrro (17. 11. 2013 12:27)

Re: limity goniometrických funkcí

#21 17. 11. 2013 12:39

Re: limity goniometrických funkcí

Zápatí