Matematické Fórum

Makrofág

Nejdříve napíšu zadání, pak to, s čím mám problém:

"Tři střelci vypálili naráz na divočáka, ktery byl jedinou kulkou trefen. Určete pravděpodobnost, že ho zastřelil první, druhý nebo třetí střelec, (pro jednotlivé střelce zvlášť, ) jsou-li jejich pravděpodobnosti zásahu nasledující: 1. střelec = 0.2, 2. střelec = 0.4 a 3. střelec= 0.6. "

Prosím o pomoc: Vynásobil jsem si všechny pravděpodobnosti střelců stovkou (asi to nebylo nutné, ale udělal jsem to): označil jsem si střelce, jako A: 0.2 ; B: 0.4 ; C: 0.6 . Pak jsem si řekl, že každý ze střelců má svou pravděpodobnost, že sám zabije kance právě jednou, a sice vlastní kulkou ze své vlastní zbraně. Tahle pravděpodobnost každého střelce se podle mě rovná poměru jeho pravděpodobnosti zásahu ku největší pravděpodobnosti zásahu střelce ve skupině, přičemž součet těchto poměrů musí dohromady dát 100%, tj. 100:

$100 = (\frac{20}{60}) * \text{x} + (\frac{40}{60}) * \text{x} + (\frac{60}{60}) * \text{x}$

$\text{X} = 50$

Pravděpodobnost střelce A = $(\frac{20}{60}) * \text{x} = \frac{\text{x}}{3} = 16.\overline{6} \%$

Podobně pro střelce B = $(\frac{40}{60}) * \text{x} = \frac{\text{2x}}{3} = 33.\overline{3} \%$

A konečně pro střelce C = $(\frac{60}{60}) * \text{x} = \text{x} = 50 \%$

Jenže pak jsem si pro kontrolu naprogramoval program, který mi vždy po deseti milionech cyklů pro každou situaci (pro každou pravděpodobnost dotyčného střelce) vypočítal jiné hodnoty, a sice:

pro střelce A: $10.35244 \%$
pro střelce B: $27.58256 \%$
pro střelce C: $62.05691 \%$

Je vidět, že pravděpodobnosti střelců A a B jsou menší, než v předchozím případě a myslím si, že je to proto, že se od předchozího výsledku odečetly případy, kdy minimálně dva střelci naráz vystřelili po kanci. Opravdu nevím, jestli je chyba v programu, nebo v mé úvaze, a proto prosím o pomoc.

jelena · 13. 11. 2013 23:12

Zdravím,

já jsem počítala např. pro 1. střelce tak, tedy spíš se shoduji s programem (programoval jsi ho podle vzorců na úplnou pravděpodobnost (nebo jak se tomu odborně říká) nebo intuitivně (jako já)?)

Je vidět, že pravděpodobnosti střelců A a B jsou menší, než v předchozím případě a myslím si, že je to proto, že se od předchozího výsledku odečetly případy, kdy minimálně dva střelci naráz vystřelili po kanci.

ale podle zadání úlohy zvíře bylo zabito přesně jedinou ranou (tak je v mém výpočtu a nejspíš jsi tak i programoval). Tak snad ještě někdo z kolegů od vás. Kolegům děkuji.

Makrofág · 13. 11. 2013 23:34

Ano, programoval jsem to tím způsobem, že jsem deklaroval tři pětiprvkové seznamy, kde u prvního seznamu reprezentujícího střelce A se nachází právě jedna jednička a čtyři nuly, analogicky u střelce B dvě jedničky a tři nuly a u střelce C tři jedničky a dvě nuly. Pak jsem vložil do cyklu příkaz, že se má vždy u všech tří seznamů náhodně vybrat nějaký prvek - takže jsou v každém cyklu náhodně vybrány tři prvky ze tří seznamů. Nutno podotknout, že se vždy pravděpodobnost testuje jen pro jednoho střelce, kterého jsem si libovolně vybral: dejmetomu chtěl jsem testovat střelce A, takže jsou tu tři možnosti:

1) Když jsou ze tří vybraných prvků právě dvě nuly a jedna jednička (tzn., že vystřelil jen jeden střelec), bere se to
v úvahu a započítává se to do celkového počtu experimentů: a zde jsou k této možnosti další dvě podmožnosti:
a) když je jednička ze seznamu pro střelce, pro kterého chci počítat pravděpodobnost, zvýší se počet příznivých
možností o jedno.
b) když jednička ze seznamu pro střelce není, neudělá se už nic a jede se dál do dalšího cyklu

2) Když je ve třech prvcích obsažen jiný počet jedniček, než jedna (žádný střelec nevystřelil, nebo jich vystřelilo
více), tak se to nebere v úvahu a nezapočítává se to do celkového počtu experimentů - neudělá se tedy nic a jede
se dál do dalšího cyklu

jelena · 14. 11. 2013 00:01

↑ Makrofág:

Děkuji, na Tvé výpočtové úvahy se musí podívat podrobněji někdo z kolegů, mně to vychází shodně s programem, protože počítám běžným SŠ způsobem (nebo viz vzorce v odkazu) a přibližně tak jsem pochopila i Tvůj popis programu:

všech možností (jmenovatel) ANN nebo NAN nebo NNA
příznivých (čitatel) ANN (když počítám prvního)
apod. pro dalšího.
-----------------------------
V tom asi problém není, jen bys chtěl mít odůvodnění pro Tvůj způsob (pokud rozumím). Tak s kolegy, to bych nedokázala.

hribayz · 14. 11. 2013 01:10

Divočáka zasáhl jediný střelec, tedy ostatní dva ne.
Pravděpodobnost, že se trefil první střelec a další dva ne, je 0.2*0.6*0.4 = 0.048.
Pravděpodobnost, že se trefil druhý střelec a další dva ne, je 0.8*0.4*0.4 = 0.128.
Pravděpodobnost, že se trefil třetí střelec a další dva ne, je 0.8*0.6*0.6 = 0.288.
Víme-li, že k zásahu došlo, musela jedna z těchto 3 možností nastat. Pravděpodobnosti tedy budou
P(zasáhl první) = 0.048/(0.048+0.128+0.288) = 0.10344...
P(zasáhl druhý) = 0.128/(0.048+0.128+0.288) = 0.2758...
P(zasáhl třetí) = 0.288/(0.048+0.128+0.288) = 0.62068...
Program máš správně, úvahu máš příliš jednoduchou. Zapomněl jsi, že k tomu, aby se jeden trefil, se musí ostatní dva NETREFIT.

jelena · 14. 11. 2013 09:27

↑ hribayz:

děkuji a zdravím,

tak jsem také počítala ↑ příspěvek 2: a slovní popis v příspěvku 4 (A=p, N=1-p u každého střelce, ale to je asi jasné):

všech možností (jmenovatel) ANN nebo NAN nebo NNA
příznivých (čitatel) ANN (když počítám prvního)
apod. pro dalšího.

Ale nepřišla jsem na to, jak kolegovi vyvrátit jeho postup (nebo jak jeho úvahu předělat na použitelnou).

KennyMcCormick

jelena napsal(a):
Ale nepřišla jsem na to, jak kolegovi vyvrátit jeho postup (nebo jak jeho úvahu předělat na použitelnou).

↑ hribayz: to napsal správně, chyba v ↑ Makrofág: postupu spočívá ve větě

Tahle pravděpodobnost každého střelce se podle mě rovná poměru jeho pravděpodobnosti zásahu ku největší pravděpodobnosti zásahu střelce ve skupině

protože ta pravděpodobnost se ve skutečnosti rovná tomu, co napsal ↑ hribayz:.

OK?

EDIT: Pro lepší čitelnost přídána citace.

Makrofág · 15. 11. 2013 21:21

Děkuji vám za pomoc, moc jste mi s problémem pomohli. Nyní jen zrekapituluji, jak jsem to pochopil:

(pokud nemáte čas, číst to nemusíte - vím, že máte na práci spousty dalších věcí)

Divočáka v jakékoliv situaci zasáhl právě jeden střelec. Pravděpodobnost (dále už jen prst), že se trefil určitý střelec, a dva kolegové nikoli, spočtu jako součin jeho prsti a dvou negací prstí zbývajících dvou střelců, tj.

střelec A: 0.2 * (1 - 0.4) * (1 - 0.6) = 0.048
střelec B: (1 - 0.2) * 0.4 * (1 - 0.6) = 0.128
střelec C: (1 - 0.2) * (1 - 0.4) * 0.6 = 0.288

Nyní znám prsti všech střelců, z nichž budu vycházet: sečtu všechny tři prsti z toho důvodu, že v každé této, nahoře spočtené prsti jsou obsaženy informace o prsti střelce v dané situaci. Tento součet bude vždy dělitelem pro každou situaci určitého střelce.

S = 0.048 + 0.128 + 0.288 = 0.464

P(A) = $\frac{0.048}{\text{S}}$ = $\frac{3}{29} \doteq$ 0.1034482759
P(B) = $\frac{0.128}{\text{S}}$ = $\frac{8}{29} \doteq$ 0.275862069
P(C) = $\frac{0.288}{\text{S}}$ = $\frac{18}{29} \doteq$ 0.6206896552

$\frac{3}{29} + \frac{8}{29} + \frac{18}{29} = \frac{29}{29} = 1$

V podstatě jsem tady jen překopíroval výpočet, který tady vymyslel už hribayz.

Díky Hribayzi, díky Jeleno, díky KennyMcCormicku.