Matematické Fórum

studentka94 · 17. 11. 2013 19:38

Dobrý den, prosím, objasnil by mi někdo, jak se došlo k výsledku?

Rekuretně zadaná posloupnost $a_{1}=1, a_{n+1}=2a_{n}, n\in N$
Vyjádřete ji vzorcem pro n-tý člen.

$a_{2}a_{3}a_{4} ... a_{n-1}a_{n}=2a_{1}2a_{2}2a_{3} ... 2a_{n-2}2a_{n-1}$

$a_{2}a_{3}a_{4} ... a_{n-1}a_{n}=2^{n-1}a_{1}a_{2}a_{3} ... a_{n-2}a_{n-1}$

$a_{n}=2^{n-1}a_{1}$

$a_{n}=2^{n-1}$

Prosím, jak se příšlo na $2^{n-1}$ ? Jsem z toho zmatená, proč je tam mocnina n-1? Objasnil by mi někdo prosím postup a závěr výpočtu?

byk7 · 17. 11. 2013 19:49

na pravé straně máš $n-1$ činitelů ve tvaru $2a_i$
v celém součinu je tedy $n-1$ dvojek
součin $n-1$ dvojek je roven $2^{n-1}$

studentka94 · 17. 11. 2013 22:43

↑ byk7:

Prosím, nešlo by to vysvětlit trošku jinak? Stále jsem z toho zmatená ...

jelena · 17. 11. 2013 23:13

↑ studentka94:

Zdravím (i kolegu Ondru),

podstatné - tomuto vztahu rozumíš (Tvůj první zápis)?
$a_{2}a_{3}a_{4} ... a_{n-1}a_{n}=2a_{1}2a_{2}2a_{3} ... 2a_{n-2}2a_{n-1}$

Teď napravo "předsunu" všechny 2 z násobků před písmena:

$a_{2}a_{3}a_{4} ... a_{n-1}a_{n}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\ldots a_{1}a_{2}a_{3} ... a_{n-2}a_{n-1}$

Kolík celkem 2 mám napravo před písmeny?
Mohu vykratit písmena se stejnými indexy nalevo a napravo?
A co zůstane?

Děkuji.

studentka94 · 18. 11. 2013 18:50

↑ jelena:

Děkuji moc za reakci, celkem příklad chápu a vidím, že mi zůstane dvojka, ale proč výsledná dvojka má mocninu n - 1? Pořád mi to nechce jít do hlavy ...

Jj · 18. 11. 2013 19:05

↑ studentka94:

$a_{1}=1, a_{n+1}=2a_{n}, n\in N$

Trochu jinak:

$a_1 = 1= 2^0$
$a_2 = 2a_1 = 2\cdot 2^0 = 2^1$
$a_3 = 2a_2 = 2\cdot 2^1 = 2^2$
$a_4 = 2a_3 = 2\cdot 2^2 = 2^3$
$a_5 = 2a_4 = 2\cdot 2^3 = 2^4$
......
$a_{n+1}=2a_n=2\cdot 2^{n-2}=2^{n-1}$