Matematické Fórum

Witiko · 18. 11. 2013 10:38

Hledám řešení série dvou nerovnic:
$0<\frac{-a + \sqrt{a^2-4b}}{2} \wedge 0<\frac{-a - \sqrt{a^2-4b}}{2}$

Podle Wolframalpha je výsledkem:
$a < 0, 0<b\leq\frac{a^2}{4}$

Zajímal by mě postup při řešení. Osobně dostávám:
$0<\frac{-a}{2} \pm \frac{\sqrt{a^2-4b}}{2}\\ -a <\pm\sqrt{a^2-4b}\\ a^2<a^2-4b\\ b<0$ $\wedge$ $a^2-4b>0\\ b<\frac{a^2}{4}$

Tzn. $b<0 \wedge b<\frac{a^2}{4} \Rightarrow b<0$ , což neodpovídá.

vanok · 18. 11. 2013 11:08

Ahoj ↑ Witiko:,
Nerovnost
$a < 0$
Dostanes scitanim tychto dvoch nerovnosti
$0<\frac{-a + \sqrt{a^2-4b}}{2} \wedge 0<\frac{-a - \sqrt{a^2-4b}}{2}$

Witiko · 18. 11. 2013 15:52 — Editoval Witiko (18. 11. 2013 20:43)

Ahoj, ↑ vanok:,

Díky za reakci, vypadá to tak. Teď už zbývá jen zjistit, proč mi vychází
$a<0, b<0 \wedge b<\frac{a^2}{4} \Rightarrow b<0$ namísto
$a<0, b>0 \wedge b<\frac{a^2}{4} \Rightarrow 0<b<\frac{a^2}{4}$

Witiko · 18. 11. 2013 23:16 — Editoval Witiko (19. 11. 2013 14:37)

Vyřešeno, následuje řešení:

Součet rovnic:
$0<\frac{-a + \sqrt{a^2-4b}}{2}\\ 0<\frac{-a - \sqrt{a^2-4b}}{2}\\ \vdots\\ 0<\frac{-a}{2}\\ a<0$

První rovnice:
$0<\frac{-a}{2} - \frac{\sqrt{a^2-4b}}{2}\\ a <-\sqrt{a^2-4b}$

Zjevně platí
$a<0\wedge-\sqrt{a^2-4b}<0$

Obracíme tedy při mocnění znaménko:
$a^2>a^2-4b\\ b>0$

Druhá rovnice:
$0<\frac{-a}{2} + \frac{\sqrt{a^2-4b}}{2}\\ a<\sqrt{a^2-4b}$

Zjevně platí
$a<0 \Rightarrow a<\sqrt{a^2-4b}\text{ pro }\forall b<\frac{a^2}{4}$

Výsledek:
$a<0, 0<b<\frac{a^2}{4}$

Matematické Fórum

#1 18. 11. 2013 10:38

Nerovnice s odmocninou

#2 18. 11. 2013 11:08

Re: Nerovnice s odmocninou

#3 18. 11. 2013 15:52 — Editoval Witiko (18. 11. 2013 20:43)

Re: Nerovnice s odmocninou

#4 18. 11. 2013 23:16 — Editoval Witiko (19. 11. 2013 14:37)

Re: Nerovnice s odmocninou

Zápatí