Matematické Fórum

teriberi · 20. 11. 2013 12:42 — Editoval jelena (24. 11. 2013 17:20)

Jelena edit: obdobně jde o prezentovanou úlohu ke splnění studijních předpokladu.

ahoj, nevíte prosím někdo, jak na to? děkuju

Najděte všechna komplexní čísla a, b, pro která má rovnice
x4 + 4x3 + 6x2 + ax + b = 0
v oboru komplexních čísel jen reálné kořeny.

BakyX · 20. 11. 2013 13:32

Ahoj. Ak sú tie korene $x_1,x_2,x_3,x_4$ , tak $x_1+x_2+x_3+x_4=-4$ a $x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=6$ .

Vypočítaj $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2$ a použi Cauchyho nerovnosť.

Pravdepodobne sa to dá aj nejakou analytickou metódou, to už neviem, ale zaujímalo by ma to tiež...

Brano · 20. 11. 2013 14:33 — Editoval Brano (20. 11. 2013 16:05)

↑ BakyX:
Pekne riesenie: ja by som len v ramci strednej skoly navrhol pouzit AK nerovnost pre $z_i=-x_i$ - ta by mohla byt stravitelnejsia.

Ked uz ale vieme tvoje riesenie, tak sa da trochu zjednodusit. Najprv urobme substituciu
$y=x+1$
a dostaneme rovnicu
$y^4+py+q=0$ ,
kde
$p=a-4$ a $q=b+3-a$
teraz tym istym postupom ako navrhujes dostaneme
$y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2=0$
a kedze to maju byt realne cisla, tak to uz bez nejakych velkych uvah vidiet, ze musia byt vsetky nulove a teda
$p=q=0$ , cize $a=4$ a $b=1$ .

PS: to, ze ta substitucia moze pomoct sa da hadat aj z toho, ze koeficienty 1,4,6,.. su z binomickej vety pre mocninu 4.

teriberi · 24. 11. 2013 13:26

↑ Rumburak: děkuju všem za návrhy, ale vůbec z toho nejsem moudrá :( těm dílčím krokům vůbec nerozumim...

jelena · 24. 11. 2013 17:16

↑ teriberi:

zdravím,

již v minulém Tvém tématu (také prezentovaná úloha) jsem se ptala na materiály, ze kterých se připravujete. Po obdržení řešení Ty jsi jen téma zafajfkla a teď opět jen hlásíš, že vůbec nerozumíš. Jaký efekt má takové studium?

Pozměním název tématu, přesunu do zajímavých pro SŠ (jelikož může posloužit pro přípravu), ale snaž se trochu a přidávej něco vlastního (minimálně zkus provést rozbor úlohy + návodné materiály pohledat) nebo komentuj, kterému kroku jsi nerozuměla. Děkuji.

teriberi · 24. 11. 2013 17:41

↑ jelena: jsem na SŠ, vim, že je to blbý psát, ze tomu nerozumim, ale nevim co nám dělat, kdyz učitel to po nás vyžaduje a mě s tim nemá kdo jinej pomoc a vysvětlit :(

jelena · 24. 11. 2013 19:20

↑ teriberi:

není bl* psát, že něčemu nerozumím, ale je bl* studovat bez materiálů (nebo nerozumím, jak studujete). Učitel nemůže vyžadovat jen tak, že si vzpomene. Ale to bych zde lamentovala dlouho.

Dle mého zdroje nejsou to SŠ úlohy, ale úlohy z předmětu "Úlohy matematické olympiády" pro přípravu budoucích VŠ učitelů. Vy jste speciálně zaměřena SŠ, že používáte stejný soubor úloh? Ale to mi také může být jedno :-)

Pokud jde o tuto konkrétní úlohu, kolega Rumburak ↑ v příspěvku 4: využívá zápis Viet. vzorců pro polynom 4. stupně, obdobně jako kolega ↑ BakyX: ve vylepšení kolegy ↑ Brano:.

Tak zde v tomto směru pokračuj s kolegy debatu.

------------------------------
Hrubě reklamní OT: navazuji na předchozí povídání z tématu stejné autorky. K vystavě mám připraveno povídání v ruštině (pro své studující v kurzech RJ), tedy pokud by někdo měl zájem vidět v Opavě výstavu s ruským vyprávěním, tak mi dejte vědět. Ideální jsou neděle - mám čas a vstup je zdarma :-)

check_drummer · 25. 11. 2013 04:48

↑ BakyX:
Ahoj, mohl bys prosím svou myšlenku rozvést? Na jaký výraz použijeme Cauchyovu nerovnost a čeho tím docílíme? Děkuji.

BakyX · 26. 11. 2013 18:43

$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=(x_1+x_2+x_3+x_4)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)=16-2 \cdot 6=4$

Platí:

$16=(1+1+1+1)(x_1^2+x_2^2+x_3^2) \ge (|x_1|+|x_2|+|x_3|+|x_4|)^2 \ge (x_1+x_2+x_3+x_4)^2=16$ .

Takže $x_1=x_2=x_3=x_4$

check_drummer · 26. 11. 2013 19:41

↑ BakyX:
Děkuji, takže myšlenka je taková, že za předpokladu reálnosti kořenů jsme odvodili, že musí být všechny totožné, že? (A na základě toho už a,b snadno určíme.) Pěkné, ale trošku mě to zklamalo - to je celkem náhoda, že jsou kořeny stejné...

BakyX · 26. 11. 2013 22:55

↑ check_drummer:

Keby neboli, tak by to bola priťažká úloha...Preto treba predpokladať, že je ľahšia...Pri iných koeficientoch by sa to dalo nejako rozumne riešiť ?

vanok · 27. 11. 2013 13:49 — Editoval vanok (27. 11. 2013 13:50)

Poznamka
Je aj riesenie inspirovane grafom danej funkcie.

( ide o konjekturu ktoru treba overit presnejsie dokazom)
Dana rovnica sa da napisat vo forme $(x-x_0)^4 + Ax+B=0$
1)Terme $Ax+B$ ak je nulovy da 4 identicke realne riesenia
2)Ak nie moze posunut graf $(x-x-0)^4=0$ "hore" co anuluje spolocny bod z osou x, a tiez realne riesenia danej rovnice.
3)Ak ho posunie "dole" to da presne dva priesecniky (co da 2 realne korene) z osou x, a tak ine 2 korene budu komplexne.

Konkluzia : jedina prva situacia vyhovuje.

Matematické Fórum

#1 20. 11. 2013 12:42 — Editoval jelena (24. 11. 2013 17:20)

Prezentovaná úloha - rovnice v oboru komplexních čísel má reál. kořeny

#2 20. 11. 2013 13:32

Re: Prezentovaná úloha - rovnice v oboru komplexních čísel má reál. kořeny

#3 20. 11. 2013 14:33 — Editoval Brano (20. 11. 2013 16:05)

Re: Prezentovaná úloha - rovnice v oboru komplexních čísel má reál. kořeny

#4 20. 11. 2013 14:36 Příspěvek uživatele Rumburak byl skryt uživatelem Rumburak. Důvod: Omyl

#5 24. 11. 2013 13:26

Re: Prezentovaná úloha - rovnice v oboru komplexních čísel má reál. kořeny

#6 24. 11. 2013 17:16

Re: Prezentovaná úloha - rovnice v oboru komplexních čísel má reál. kořeny

#7 24. 11. 2013 17:41

Re: Prezentovaná úloha - rovnice v oboru komplexních čísel má reál. kořeny

#8 24. 11. 2013 19:20

Re: Prezentovaná úloha - rovnice v oboru komplexních čísel má reál. kořeny

#9 25. 11. 2013 04:48

Re: Prezentovaná úloha - rovnice v oboru komplexních čísel má reál. kořeny

#10 26. 11. 2013 18:43

Re: Prezentovaná úloha - rovnice v oboru komplexních čísel má reál. kořeny

#11 26. 11. 2013 19:41

Re: Prezentovaná úloha - rovnice v oboru komplexních čísel má reál. kořeny

#12 26. 11. 2013 22:55

Re: Prezentovaná úloha - rovnice v oboru komplexních čísel má reál. kořeny

#13 27. 11. 2013 13:49 — Editoval vanok (27. 11. 2013 13:50)

Re: Prezentovaná úloha - rovnice v oboru komplexních čísel má reál. kořeny

Zápatí