Matematické Fórum

Zoe · 19. 11. 2013 20:08

Ahojte, potrebujem dokázať túto vetu, ale som úplne bezradná... Vie mi niekto povedať, ako na to, resp. z čoho ten dôkaz vychádza? Za všetky rady budem vďačná. :)

//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-11/88052_MA.jpg

byk7 · 19. 11. 2013 20:38

Nejsem si jistý, jestli to povede k cíli, ale

asi bych zkusil převod na exponenciální funkci
$\big(1+f(x)\big)^{g(x)}=\exp\big(g(x)\ln\big(f(x)+1\big)\big)$
a dokazovat tvrzení
$\lim_{x\to x_0}\exp\big(g(x)\ln\big(f(x)+1\big)\big)=\exp(A)$ ,
tedy
$\lim_{x\to x_0}g(x)\ln\big(f(x)+1\big)=\lim_{x\to x_0}f(x)g(x)$ .

Bati · 19. 11. 2013 22:15

↑ byk7:
To už v cíli ale jsi, neboť $\lim_{x\to x_0}g(x)\ln\big(f(x)+1\big)=\lim_{x\to x_0}f(x)g(x)\frac{\ln\big(f(x)+1\big)}{f(x)}$ a použijeme limitu složené funkce.

Zoe · 20. 11. 2013 00:02

A tá limita $\lim_{x\to x_0}{\frac{ln(1+f(x))}{f(x)}}$ sa nerovná 1 len pre x idúce k 0? Nejak nechápem, prečo to môžem použiť..

Bati · 20. 11. 2013 09:46

↑ Zoe:
K čemu se blíží x je jedno, protože v té limitě vystupuje pouze f(x) a my víme ze zadání, že f(x)->0 pro x->x0. Pozor ale ještě na předpoklady věty o limitě složené funkce. Je potřeba splnit podmínku spojitosti vnější funkce, což zde nepřichází v úvahu (dělení nulou), NEBO podmínku "P" - což je, že f nenabývá nuly na nějakém prstencovém okolí bodu x0. Kdyby totiž např. f byla nula všude, pak to, co jsem napsal v minulém příspěvku je nesmysl a je třeba se vrátit o krok zpět.

Rumburak

↑ Zoe:

Ahoj.

Platí $\lim_{y\to 0}\frac{\ln(1+y)}{y} = 1$ , takže když proměnnou $y \to 0$ nahradíme $f(x) \to 0$ , dostáváme

$\lim_{f(x)\to 0}\frac{\ln(1+f(x))}{f(x)} = 1$ , neboli $\lim_{x\to x_0}\frac{\ln(1+f(x))}{f(x)} = 1$ .

Vysvětlení toto je snad příliš "populární" , přesně jde o použití věty o limitě složené funkce $h(f(x))$ pro $h(y) := \frac{\ln(1+y)}{y}$ .

V tomto důkazovém kroku je ovšem použit předpoklad, že existuje prstencové okolí bodu $x_0$ , v němž funkce $f$ nenabývá hodnoty $0$ .
Situaci, kdy je tento předpoklad porušen, nutno vyřešit separátně, což ale není těžké.