Matematické Fórum

smiesek · 22. 01. 2009 07:10

Prosím o kontrolu správnosti výpočtu, případně pokud existuje nějaká stránka (krom old.mendelu - tam mi to nejde), kde si správnost ověřit

zadání 1
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int(2-lnx%2B3x^2)dx$

mé řešení
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int(2-lnx%2B3x^2)dx%20%3D2\int1dx%20%2B\int%20lnx%20dx%2B3\int%20x^2%20dx%3D$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%3D2x-x*(lnx-1)%2Bx^3%2Bc%20%3Dx^3%2B3x-x*lnx%2Bc$

pomocný výpočet
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int%20lnx%20dx%3Dlnx*x-\int\frac{1}{x}*xdx%3Dx*(lnx-1)$

zadání 2
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int\frac{x^2}{1%2Bx^2}dx$

mé řešení
použila jsem metodu per-partes
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int\frac{x^2}{1%2Bx^2}dx%3Dx^2*arctgx-2\int%20x*arctgx%20dx%20%3D$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%3Dx^2*arctgx-2[1*arctgx-\int%201*\frac{1}{1%2Bx^2}%20dx%3D\frac{x}{2}*arctgx-2[arctgx-arctgx]%2Bc%3D$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x^2*arctgx%2Bc$

zadání 3
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int\frac{3dx}{\sqrt{1%2Be^x%20}}$

mé řešení
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int\frac{3dx}{\sqrt{1%2Be^x%20}}%3D3\int%20(1%2Be^x)^-\frac{1}{2}dx%3D$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%3D3\int%20z^-%20\frac{1}{2}%20dz%3D3\frac{z^\frac{1}{2}%20}{\frac{1}{2}}%2Bc%3D6*\sqrt{1%2Be^x%20}%2Bc$

pomocný výpočet
sub. $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=1%2Be^x%3Dz$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=e^x%3Ddz$

zadání 4
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int\frac{2e^x%20}{2%2Be^x%20}dx$

mé řešení
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int\frac{2e^x%20}{2%2Be^x%20}dx%3D2\int%20\frac{e^x%20}{2%2Be^x%20}dx%3D$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%3D2\int\frac{1}{z}%20dz%3D2%20\int%20z^-1dz%3D2ln|2%2Be^x%20|%2Bc$

pomocný výpočet
sub. $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=2%2Be^x%3Dz$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=e^xdx%3Ddz$

děkuji pěkně předem za spolupráci při kontrole

kaja.marik

2 a 3 je spatne

u 2 je spatne i metoda - prvni pouziti per pasrtes je sice spravne provedeno, ale integral se zkomplikuje, druhe per partes uz je blbe
vubec bych per partes nedelal, radsi bych delil polynomy

MAW by to mel zvladnout - co tam neslo? a kdy? vcera vecer? to mozna bylo jenom tim, ze vsechny univerzitni stranky byly nejake hoooodne zpomalene ....

3
2

jeste napr. http://integrals.wolfram.com/index.jsp nebo http://cgi.math.muni.cz/%7Exsrot/int/uvod.cgi?cnt=yes anebo seznam na http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=5721

jendula11 · 22. 01. 2009 08:41

nebo by také u dvojky šla použít substituce $x=tg(t)$

smiesek · 22. 01. 2009 13:13

zadání 2
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int\frac{x^2}{1%2Bx^2}dx$

můj postup
dělení polynomu
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x^2%3Ax^2%2B1%3D1$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=(x^2%2B1)$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=-1$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int1-\frac{1}{x^2%2B1}dx%3Dx-arctgx%2Bc$

super, děkuji za pomoc při řešení 2. zadání

akorát stále nemohu pžijít na řešení 3. zadání
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int\frac{3dx}{\sqrt{1%2Be^x%20}}$

můj postup
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int\frac{3dx}{\sqrt{1%2Be^x%20}}%3D3\int%20(1%2Be^x)^-\frac{1}{2}dx%3D$
po tento krok mi to je jasné, ale dál nevím jak

ještě jsem zkoušela zavédst substituci následovně:
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=1%2Be^x%3Dz$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=e^xdx%3Ddz$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=dx%3D\frac{dz}{e^x}$

pak bych tedy musela počítat s následujícím:
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=3\int(z)^-\frac{1}{2}*\frac{dz}{e^x}$

tím bych si dle mého názoru stejně moc nepomohla, neboť už jen výsledek, co jsem viděla, je zastrašující :(

jendula11 · 22. 01. 2009 14:02

subsituce $e^x=t$
pak bz integr8l m2l vypadat nejak takto: $\int \frac{dt}{\sqrt{t}(t-1)}$

jendula11 · 22. 01. 2009 14:03

par don substituce je $e^x+1=t$

kaja.marik

↑ smiesek:
Zdravim, tento odkaz nepomohl? dejte prosim vedet, docela by me to zajimalo. I to, co na tom old.mendelu neslo (viz prvni prispevek)

jeste to trosku rozepisu:

1+e^x=z
e^x dx=dz

$dx=\frac{dz}{e^x}$ ... tohle nerad vidim, ale jako mezikrok budiz .....

$dx=\frac{dz}{z-1}$

anebo:
1+e^x=z
x=ln(z-1)
dx=dz/(z-1)

smiesek · 22. 01. 2009 15:17

ohledně toho old.mendelu, ač jsem tam zadala vždy jakýkoliv integrál, stále mě to drželo na prvním kroku, zřejmě s ním neumím pracovat a tudíš se v něm neorientuji :(

k tomu příkladu, kluci, kde prosímberete to -> (z-1) příp. (t-1)?

lámu si hlavu i nad banálním příkladem

zadání
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int10sin\frac{x}{2}*cos\frac{x}{2}dx$

můj postup řešení
1. verze
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=10\int%20sin\frac{x}{2}*cos%20\frac{x}{2}dx%3D10*\frac{1}{2}\int%20sinx*cosxdx%3D$
pomocí substituce:
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=sinx%3Dz$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=cosxdx%3Ddz$

pak tedy:
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\frac{10}{2}\int%20z%20dz%3D\frac{10}{2}*\frac{z^2}{2}%2Bc%3D\frac{5}{2}sinx%2Bc$

2. verze
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=10\int%20sin\frac{x}{2}*cos\frac{x}{2}dx%3D10\int%20sinz*cosz2dz%3D$

pozn. zavedla jsem substituci:
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\frac{x}{2}%3Dz%0A$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=dx%3D2dz%0A$

dále tedy:
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=10*2\int%20sinz*coszdz%3D\frac{20}{2}sinz%2Bc%3D10sin\frac{x}{2}%2Bc%0A$

no beztak koukám, že druhá verze postupu je nějaká divná :(

jendula11 · 22. 01. 2009 15:25

zdá se mi že verze s pořadovým číslem dvě je správně až na tu konečnou integraci to je blbě

kaja.marik · 22. 01. 2009 16:38

smiesek napsal(a):
ohledně toho old.mendelu, ač jsem tam zadala vždy jakýkoliv integrál, stále mě to drželo na prvním kroku, zřejmě s ním neumím pracovat a tudíš se v něm neorientuji :(

Nestacilo pouzit ten muj odkaz a potom klikat na odeslat odeslat odeslat .... ?

kaja.marik · 22. 01. 2009 16:39

smiesek napsal(a):
k tomu příkladu, kluci, kde prosímberete to -> (z-1) příp. (t-1)?

1+e^x=z

odectu jednicku
e^x = z-1

a protoze nechci mit ve jmenovateli e^x ale neco v promenne z, napisu tam z-1

ttopi · 22. 01. 2009 16:42

A co takhle:
$\int10\sin\Big(\frac{x}{2}\Big)\cdot \cos\Big(\frac{x}{2}\Big)\ dx=\nl=5\int2\sin\Big(\frac{x}{2}\Big)\cdot \cos\Big(\frac{x}{2}\Big)\ dx=\nl=5\int \sin(x)\ dx=-5\cos(x)+C$

kaja.marik

obe verze jsou spatne ....

2*sin(x/2)*cos(x/2)=sin x

je to tedy zafirovany integral z funkce 5*sin(x) a ten je trivialni

pokud to nestaci tak zkuste tento odkaz, vybrat v prvnim kroku operaci trigreduce a pak jenom kliknout na odeslat, pockat (cca 3 vteriny) a v dalsim kroku zase odeslat. a napiste, jestli to uz funguje :)

Edit: hm... Topi byl rychlejsi :)

ttopi · 22. 01. 2009 16:47

↑ kaja.marik:
Ahoj kolego,
prosímtě...
Když zadám Tady a dám:

1) [?] upravit goniometrické funkce (trigreduce) - dostanu co jsem napsal.

2) dám rovnou na výsledek, hodí to $http://wood.mendelu.cz/math/mathtex/mathtex.php?I=%20-10\,\cos%20^2\left({{1}\over{2}}\,x\right)$

Zkoušel jsem si dát třeba x=32° ale pak se dostávám ke sporu, protože mi pro oba výsledky vychází různá čísla? Je to vůbec možné? Pokud máš minutku, podívej se na to a řekni, kde dělám chybu. Jinak jsem si ale na 99% jistý, že výsledek nahoře mám dobře.

smiesek · 22. 01. 2009 17:03

:) super kluci, moc děkuji za váš čas, odkaz už mi jde a příklad mi je hned jasnější, jen nechápu, proč to vždy musí být vše složitě ukryté, jene se zaměřovat na integrování, ale ještě i goniometrické vztahy, přsto mi dovolte dotaz ohledně integrace
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int2sin\frac{x}{2}*cos\frac{x}{2}dx$
kdy, zda jsem právně pochytila, tak podle vztahu $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=2sin\frac{x}{2}*cos\frac{x}{2}%3Dsin2x$ kdepak se vytratilo to číslo 2 (mezi sin a x)?

musixx · 22. 01. 2009 17:11 — Editoval musixx (22. 01. 2009 17:12)

↑ smiesek: Semantika tveho nicku dokonala: "kdepak se vytratilo to číslo 2 (mezi sin a x)?"

To je -- nebo mel by byt -- vzorec pro polovicni uhel funkce sinus. Tedy nam prave jde o to, se te dvojky mezi sinem a x-em zbavit. :-) Ono totiz plati takova konvence, ktera te mozna mate: $\sin2x$ je totez jako $\sin(2x)$ . No a ten vzorec pro polovicni uhel vypada spravne takto: $\sin2x=2\sin x\cos x$ (ty ho mas uveden spatne). Da se take aplikovat treba jako $\sin x=2\sin\frac x2\cos\frac x2$ .

Jasne?

smiesek · 22. 01. 2009 17:17

↑ musixx:
nyní mi je již řešení příkladu zcela jasné a pochopeno.
Děkuji za vaši trpělivost pánové a já jdu zkusit dopočítat se výsledku výše uvedeného příkladu s nešťastným e^x

kaja.marik

↑ ttopi:
zdravim, oba vysledky jsou dobre :)

lisi se jenom o konstantu

$\cos x=\cos^2\left(\frac x2\right)-\sin ^2 \left(\frac x2\right)=\cos^2\left(\frac x2\right)-1+\cos ^2 \left(\frac x2\right)=2\cos^2\left(\frac x2\right)-1$

ttopi · 22. 01. 2009 19:31

↑ kaja.marik:
No jo, ale pokud by se měla spočítat nějaká plocha, tak by vyšlo zřejmě jiné číslo, což je mi divné, ne? :-)

kaja.marik

↑ ttopi:
ne ne, v urcitem integralu je F(b)-F(a)

pokud je G(x)=F(X)+C tak G(b)-G(a) = F(b)-F(a)

primitivni funkce proste neni urcena jednoznacne ....

ttopi · 22. 01. 2009 21:34

To chápu, ale tady to F už máme vypočítaný a vyšlo 2x jinak. Proto když tam dosadím meze třeba 10 a 50, tak vyjde jiná plocha mi přijde. Mě je prostě divné, že do primitivní funkce (bez konstanty) dosadím za x a vyjde něco jiného.

kaja.marik

$S_1=\left[-5\cos x\right]_{0}^{\frac\pi3}=\frac 52$

$S_2=\left[-10\cos^2 \left(\frac x2\right)\right]_{0}^{\frac \pi3}=\frac 52$

integral do 0 do pi/3 je 5/2, at pouziju jakoukoliv primitivni funkci

ttopi · 22. 01. 2009 22:18

Vzdávám se :-)

Ráno si ještě zkusím dosadit jiné meze, abych se definitivně přesvědčil :-)

smiesek · 24. 01. 2009 06:37

můžete mi prosím alespoň malinko poradit, jak začít počítat neurčitý integrál u těchto typů integrálů?

zadání 1
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int(tg\frac{x}{2}*cos\frac{x}{2}%2Bcos\frac{x}{2})^2dx$

zadání 2
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int(cos^3x%2Bsin^2x*cosx)dx$

zadání 3
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\int\frac{x^2}{(1-x)^100}dx$

Určitě tam bude stačit použít nějaké goniometrické vztahy, ale já je tam v tom nevidím :(
Děkuji pěkně předem za jakoukoliv pomoc při výpočtu

lukaszh

↑ smiesek:
zadání 1
$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\Rightarrow\boxed{\tan$\frac{x}{2}$\cos$\frac{x}{2}$= \sin$\frac{x}{2}$\,;\;x\ne\pi}$
$\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$
$\cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}$
zadání 2
$\sin^2x\cos x=(1-\cos^2x)\cos x=\cos x-\cos^3x$
zadání 3

Matematické Fórum

#1 22. 01. 2009 07:10

Neurčitý integrál

#2 22. 01. 2009 07:35 — Editoval kaja.marik (22. 01. 2009 07:55)

Re: Neurčitý integrál

#3 22. 01. 2009 08:41

Re: Neurčitý integrál

#4 22. 01. 2009 13:13

Re: Neurčitý integrál

#5 22. 01. 2009 14:02

Re: Neurčitý integrál

#6 22. 01. 2009 14:03

Re: Neurčitý integrál

#7 22. 01. 2009 14:30 — Editoval kaja.marik (22. 01. 2009 14:30)

Re: Neurčitý integrál

#8 22. 01. 2009 15:17

Re: Neurčitý integrál

#9 22. 01. 2009 15:25

Re: Neurčitý integrál

#10 22. 01. 2009 16:38

Re: Neurčitý integrál

smiesek napsal(a):

#11 22. 01. 2009 16:39

Re: Neurčitý integrál

smiesek napsal(a):

#12 22. 01. 2009 16:42

Re: Neurčitý integrál

#13 22. 01. 2009 16:44 — Editoval kaja.marik (22. 01. 2009 16:44)

Re: Neurčitý integrál

#14 22. 01. 2009 16:47

Re: Neurčitý integrál

#15 22. 01. 2009 17:03

Re: Neurčitý integrál

#16 22. 01. 2009 17:11 — Editoval musixx (22. 01. 2009 17:12)

Re: Neurčitý integrál

#17 22. 01. 2009 17:17

Re: Neurčitý integrál

#18 22. 01. 2009 18:35 — Editoval kaja.marik (22. 01. 2009 18:36)

Re: Neurčitý integrál

#19 22. 01. 2009 19:31

Re: Neurčitý integrál

#20 22. 01. 2009 21:14 — Editoval kaja.marik (22. 01. 2009 21:15)

Re: Neurčitý integrál

#21 22. 01. 2009 21:34

Re: Neurčitý integrál

#22 22. 01. 2009 21:42 — Editoval kaja.marik (22. 01. 2009 21:43)

Re: Neurčitý integrál

#23 22. 01. 2009 22:18

Re: Neurčitý integrál

#24 24. 01. 2009 06:37

Re: Neurčitý integrál

#25 24. 01. 2009 10:31 — Editoval lukaszh (24. 01. 2009 11:50)

Re: Neurčitý integrál

Zápatí