Matematické Fórum

Fijojo · 21. 11. 2013 23:56 — Editoval jelena (22. 11. 2013 00:02)

Jak prosím spočítat tento integrál? Nemohu se dobrat výsledku, děkuji.

$\int_{}^{}e^{\sqrt{x}}\d x$

Freedy · 22. 11. 2013 00:00 — Editoval Freedy (22. 11. 2013 00:01)

$\int_{}^{}\mathrm{e}^{\sqrt{x}}dx$
co třeba substitucí?
$x=y^2$
$dx=2ydy$
a teď už jen řešíš:
$\int_{}^{}2ye^ydy$ (per partes)

Fijojo · 22. 11. 2013 00:04 — Editoval Fijojo (22. 11. 2013 00:13)

$\int_{}^{}e^{\sqrt{x}}\d x$ ↑ Freedy:

Nejde to nějak jednodušeji, rychleji?

Tento příklad mám v knize označen jako příklad na řešení metodou per partes.

// jinak děkuji!

Freedy · 22. 11. 2013 00:21

vždyť ten příklad se metodou per partes řeší:
$2\int_{}^{}y\mathrm{e}^{y}dy$
$u=y$ --- $u'=1$
$v'=\mathrm{e}^{y}$ --- $v=\mathrm{e}^{y}$
$2(y\mathrm{e}^{y}-\int_{}^{}\mathrm{e}^{y}dy) = 2y\mathrm{e}^{y}-2\mathrm{e}^{y}$
$2y\mathrm{e}^{y}-2\mathrm{e}^{y}=2\sqrt{x}\mathrm{e}^{\sqrt{x}}-2\mathrm{e}^{\sqrt{x}}=2\mathrm{e}^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)+c$

Fijojo · 22. 11. 2013 00:31

↑ Freedy:

Já to spočítal (substituce + per partes), ale asi jsem se špatně vyjádřil. Pochopil jsem to zadání tak, že by se tam měla používat JEN metoda per partes a ne i substituce. :)

Freedy · 22. 11. 2013 00:33

:) Tak to mi prosím ukaž jak. Rád se poučím.

Fijojo · 22. 11. 2013 00:39

↑ Freedy:

To poučení bych potřeboval já, ale asi to jinak řešit nejde, jak se zdá. Bral jsem to tak, že když mi tady napsali, integrujte metodou per partes, tak tak se tam žádná substituce nevyskytuje a tím pádem, co jsem spočítal, je jinak, i když dobře. :). Díky za pomoc :)

Brano · 22. 11. 2013 00:50

↑ Fijojo:
tazko v matematike povedat, ze by sa malo pouzivat len nieco a nic ine - skor je beznou praxou, ze sa automaticky predpoklada, ze si ziak pamata vsetko co sa preberalo predtym a substitucia sa obvykle prebera pred per partes.

to by si potom mohol argumentovat, ze po nauceni sa zakladneho vzorca $\int f\pm g\ dx=\int f\ dx\pm \int g\ dx$ je priklad $\int e^{x^2}-e^{x^2} dx$ extremne tazky, lebo tam treba integrovat $e^{x^2}$ a ta nema primitivnu funkciu medzi elementarnymi ... a na to aby si prisiel na vysledok $=\text{const}$ by si musel pred integrovanim pouzit strasnu vec co sa nazyva UPRAVA VYRAZOV a ta sa robila uz davno - niekde na zakladnej a v zadani prikladu sa o nej nic nehovori.

Fijojo · 22. 11. 2013 00:58

To je fakt no :)....nějaký čas tady budu zřejmě hodně viděn, tak snad se moje dotazy nebudou někomu protivit :)

Brano · 22. 11. 2013 01:02 — Editoval Brano (22. 11. 2013 01:07)

↑ Fijojo:
nemaj strach - otazky sa nikomu neprotivia - a keby sa aj niekomu protivily, tak nemusi odpovedat :0)
zvacsa staci, ak na otazku odpovie jeden clovek.

BTW to ze sa v zadani pise "metodou per-partes spocitajte" sa obvykle mysli ako napoveda a nie obmedzenie (aj ked rozni vyucujuci to mozu chapat rozne) ale standardne by to malo znamenat, ze v postupe sa niekde aspon raz pouzije per partes.

Fijojo · 22. 11. 2013 01:23

↑ Brano:

Skvělý, díky :)

Lukáš Ba-mat-fyz · 22. 11. 2013 13:52

toto bola výzva, ak by si chcel profesorovi polichotiť ide aj "len" cez per partes:

$\int_{}^{}e^{\sqrt{x}}\d x$
teraz $u=\mathrm{e}^{\sqrt{x}}....u'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$
$v'=1....v=x$
dostávame:

$\int_{}^{}e^{\sqrt{x}}\d x=x\mathrm{e}^{\sqrt{x}}-\frac{1}{2}\int_{}^{}\mathrm{e}^{\sqrt{x}}\sqrt{x}\d x$

teraz zistíme čomu sa rovná $-\frac{1}{2}\int_{}^{}e^{\sqrt{x}}\sqrt{x}\d x$ a to cez per partes:

$u=\mathrm{e}^{\sqrt{x}}....u'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$
$v'=\sqrt{x}....v=x^{\frac{3}{2}}\frac{2}{3}$

dostávame:
$-\frac{1}{2}\int_{}^{}e^{\sqrt{x}}\sqrt{x}\d x=-\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}\mathrm{e}^{\sqrt{x}}+\frac{1}{6}\int_{}^{}\sqrt{x}\mathrm{e}^{\sqt{x}}\d x$

prehodením toho integrálu na druhú stranu dostávame:

$-\frac{2}{3}\int_{}^{}\sqrt{x}\mathrm{e}^{\sqrt{x}}=-\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$

teda máme:

$\int_{}^{}\sqrt{x}\mathrm{e}^{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}x^{\frac{3}{2}}\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$

a teda celkovo:

$\int_{}^{}\mathrm{e}^{\sqrt{x}}=x\mathrm{e}^{\sqrt{x}}-\frac{1}{2}\int_{}^{}\mathrm{e}^{\sqrt{x}}\sqrt{x}\d x$

po dosadení:

$\int_{}^{}\mathrm{e}^{\sqrt{x}}=x\mathrm{e}^{\sqrt{x}}-\frac{1}{4}x^{\frac{3}{2}}\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$

snaď dobre:D

Fijojo · 22. 11. 2013 14:02

Děkuji :D, ale lichotit mu nechci :D, ten nás má všechny na háku. Hlavní je, abych ten předmět udělal a mohl začít psát závěrečnou práci :).

Freedy · 22. 11. 2013 14:14

Nevím jestli se přehlížím já ale tady máš nejspíš chybu:
U druhého per partes máš:
$u=\mathrm{e}^{\sqrt{x}}....u'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$
$v'=\sqrt{x}....v=x^{\frac{3}{2}}\frac{2}{3}$

To je v pořádku jenže když to jde sem:
$\int_{}^{}udv=uv-\int_{}^{}vdu$
Tak:
$-\frac{1}{2}\int_{}^{}\mathrm{e}^{\sqrt{x}}\sqrt{x}dx=-\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}\mathrm{e}^{\sqrt{x}}+\frac{1}{2}\int_{}^{}$ a tady nastává chyba:
$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}\cdot\frac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}\sqrt{x}\sqrt{x}}{3}\cdot\frac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\frac{x\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{3}$
kdežto ty tam máš:
$\int_{}^{}\frac{\sqrt{x}\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{3}dx$

Matematické Fórum

#1 21. 11. 2013 23:56 — Editoval jelena (22. 11. 2013 00:02)

Integrál e^(x^1/2)

#2 22. 11. 2013 00:00 — Editoval Freedy (22. 11. 2013 00:01)

Re: Integrál e^(x^1/2)

#3 22. 11. 2013 00:04 — Editoval Fijojo (22. 11. 2013 00:13)

Re: Integrál e^(x^1/2)

#4 22. 11. 2013 00:21

Re: Integrál e^(x^1/2)

#5 22. 11. 2013 00:31

Re: Integrál e^(x^1/2)

#6 22. 11. 2013 00:33

Re: Integrál e^(x^1/2)

#7 22. 11. 2013 00:39

Re: Integrál e^(x^1/2)

#8 22. 11. 2013 00:50

Re: Integrál e^(x^1/2)

#9 22. 11. 2013 00:58

Re: Integrál e^(x^1/2)

#10 22. 11. 2013 01:02 — Editoval Brano (22. 11. 2013 01:07)

Re: Integrál e^(x^1/2)

#11 22. 11. 2013 01:23

Re: Integrál e^(x^1/2)

#12 22. 11. 2013 13:52

Re: Integrál e^(x^1/2)

#13 22. 11. 2013 14:02

Re: Integrál e^(x^1/2)

#14 22. 11. 2013 14:14

Re: Integrál e^(x^1/2)

Zápatí