Matematické Fórum

breta21 · 22. 11. 2013 13:42

Dobrý den, ačkoliv jsem už neco podobneho tady rešil, porad to nechapu...mam-li gonio nebo cyklometrickou funkci a k ni vytvořit inverzni, tak neni problem.... ale vubec nechapu jak mam vypočitat definični obor a obor hodnot.... na přiklad y=2+ arcsin (x+1), inverzni by mela byt y=sin(x-2)-1...

Freedy · 22. 11. 2013 14:00 — Editoval Freedy (22. 11. 2013 14:01)

$y=2+arcsin(x+1)$
inverzní:
$y-2=arcsin(x+1)$
$\sin (y-2)=x+1$
$\sin (y-2)-1=x$
výsledek:
$y=\sin (x-2)-1$
U funkce a k ní inverzní platí:
$D_f=H_{f^{-1}}$
$D_{f^{-1}}=H_f$

Definiční obor funkce f:
$y=2+arcsin(x+1)$
Arcsin je definován na intervalu [-1;1]
To znamená že:
$-1\le x+1\le 1$ >>> $x\in [-2;0]$
Obor hodnot funkce f:
Arcsin má obor hodnot -pi/2 až pi/2. Když k tomu vždy přičteš dvojku, dostaneš tedy obor hodnot:
$H_f=[\frac{4-\pi }{2};\frac{4+\pi }{2}]$

Definiční obor funkce inverzní jsou sice všechny reálná čísla, ale množina na které je funkce sin(x-2) - 1 prostá je obor hodnot její inverzní funkce čili:
$D_{f^{-1}}=[\frac{4-\pi }{2};\frac{4+\pi }{2}]$

Obor hodnot bude stejně. Bude se rovnat definičnímu oboru původní funkce. Čili by to mělo být [-2;0]
Funkce sinus má maximum v 1 a minimum v -1. Když od těchto obou čísel odečteme jedničku, dostaneme výsledný interval:
$H_{f^{-1}}=[-2;0]$

aww · 23. 11. 2013 16:02

Pokud mohu reagovat, mohl bych poprosit o obšírnější vysvětlení určení oboru hodnot arcsin? Proč jsme k ní přičetli dvojku která je mimo závorku? a proč jsme nepřičetli jedničku uvnitř závorky? Nebo obor hodnot jsme vubec nepočítali, jen ho vymysleli? jsem krapet zmaten

Freedy · 24. 11. 2013 01:25

Tak ještě jednou.
Definiční obor funkce arcsin(x) je $D_f=[-1;1]$ protože jsou to hodnoty maxima a minima funkce sinus. Ty máš uvnitř závorky (x+1) To znamená že: $-1\le x+1\le 1$ Od obou stran odečteš jedničku a dostaneš:
$-2\le x\le 0$ Takže definiční obor funkce: $f(x)=arcsin(x+1)$ je $D_f=[-2;0]$
Obor hodnot je obor všech hodnot které může funkce pro $x\in D_f$ nabývat.
Obor hodnot funkce arcsin(x) je: $H_f=[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$
Ty máš ale funkci: $f(x)=2+arcsin(x+1)$
Takže ty hledáš maximum funkce arcsin(x) což je pi/2 a minimum funkce což je -pi/2. To znamená že pro:
$x=0$
$f(0)=2+arcsin(1) = \frac{4}{2}+\frac{\pi }{2}=\frac{4+\pi }{2}$
a pro x=-2
$f(-2)=2+arcsin(-1)=\frac{4}{2}-\frac{\pi }{2}=\frac{4-\pi }{2}$

Což je ten obor hodnot dané funkce a zároveň definiční obor funkce inverzní:
$H_f=[\frac{4-\pi }{2};\frac{4+\pi }{2}]$