Matematické Fórum

Terusanet · 24. 11. 2013 12:17

Ahoj, mám tu takový problém s odmocninami. Rovnice chápu, jsou celkem jednoduché.Prblém ale nastane, když tam mám odmocninu. To si s ní pak neumím poradit:/ (vyjde mi většinou nesmyslná směsice čísel)

Př1) $\frac{x-\sqrt{5}}{x+\sqrt{5}} = \sqrt{2}$

Př2) Řeště v oboru přirozených čísel: $\frac{n+\sqrt{2}}{n-\sqrt{2}} = \frac{49-14\sqrt{2}}{47}$

Př3) Řeště v oboru přir.čísel: $\frac{n+\sqrt{2}}{n-\sqrt{2}} = \frac{51+14\sqrt{2}}{47}$

Možná by stačilo ukázat alespoň postup, jak bych se jich mohla u každého z nich co nejjednodušeji zbavit... Děkuji za každou radu:) -T.

Freedy · 24. 11. 2013 12:32 — Editoval Freedy (24. 11. 2013 12:32)

1)
$\frac{x-\sqrt{5}}{x+\sqrt{5}}=\sqrt{2}$
Roznásobíš (pozn. x+odmocnina z (5) se nerovná 0)
$x-\sqrt{5}=x\sqrt{2}+\sqrt{10}$
$x-x\sqrt{2}=\sqrt{10}+\sqrt{5}$
$x(1-\sqrt{2})=\sqrt{10}+\sqrt{5}$
$x=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{5}}{1-\sqrt{2}}$

Druhý a třetí úplně stejně.

Terusanet · 24. 11. 2013 12:51

↑ Freedy:No oni mají ve výsledcích, že to má vyjít $-\frac{1}{2} .(5+3\sqrt{5})$

Freedy · 24. 11. 2013 13:11 — Editoval Freedy (24. 11. 2013 13:11)

$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{5}}{1-\sqrt{2}}\cdot\frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=-(\sqrt{10}+\sqrt{20}+\sqrt{5}+\sqrt{10})=-\sqrt{5}(3+2\sqrt{2})$
Nevím jestli máš správně výsledek každopádně:
$x=-\frac{5+3\sqrt{5}}{2}$

$\frac{\frac{-5-3\sqrt{5}}{2}-\sqrt{5}}{\frac{-5-3\sqrt{5}}{2}+\sqrt{5}}=\sqrt{2}$
$\frac{\frac{-5-5\sqrt{5}}{2}}{\frac{-5-\sqrt{5}}{2}}=\sqrt{2}$
$\frac{-5-5\sqrt{5}}{-5-\sqrt{5}}=\sqrt{2}$
$-5-5\sqrt{5}=-5\sqrt{2}-\sqrt{10}$
$-16,1803\not =-10,2333$

Tak si nejspíš zkontroluj výsledek.

Terusanet · 24. 11. 2013 13:15

↑ Freedy: Jo...Našla jsem si tam chybu. Díky za pomoc:)

Terusanet · 24. 11. 2013 13:26

↑ Freedy: Ten třetí příklad mi ale stále bohužel nevychází....U druhého příkladu to nemá řešení, protože mi vyšla o5 nějaká směsice čísel. U třetího to má vyjít 7

Freedy · 24. 11. 2013 14:04

$\frac{n+\sqrt{2}}{n-\sqrt{2}} = \frac{49-14\sqrt{2}}{47}$ roznásobíš aby jsi se zbavila zlomků
$47n+47\sqrt{2}=51n-51\sqrt{2}+14n\sqrt{2}-28$
Čísla hodíš na jednu stranu, vše s neznámou na druhou:
$4n+14n\sqrt{2}=98\sqrt{2}+28$ - vydělíš dvojkou ještě
$2n+7n\sqrt{2}=49\sqrt{2}+14$ - vytkneš n
$n(2+7\sqrt{2})=49\sqrt{2}+14$ - a osamostatníš n
$n=\frac{49\sqrt{2}+14}{2+7\sqrt{2}}$
teď už je to jen o tom upravit zlomek což není nic složitého:
$n=\frac{7(7\sqrt{2}+2)}{7\sqrt{2}+2}=7$